[논문 리뷰] Option Pricing in a Dynamic Variance-Gamma Model

Lorenzo Mercuri, Fabio Bellini|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 옵션 가격 설정을 위한 동적 분산-감마(DVG) 모델을 제안한다. 여기서 로그 수익률은 GARCH 유형의 확률적 변동성 과정에 의해 영향을 받는 시간에 따라 변하는 분산-감마 분포를 따른다. 조건부 에스처 전환을 통해 위험 중립 측도를 전환함으로써, 특성 함수의 반복적 계산을 통한 반분석적 가격 설정이 가능해지며, 이는 헤스톤-나디와 IG 기반 모델보다 캘리브레이션 및 역사적 우도 추정에서 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

We present a discrete time stochastic volatility model in which the conditional distribution of the logreturns is a Variance-Gamma, that is a normal variance-mean mixture with Gamma mixing density. We assume that the Gamma mixing density is time varying and follows an affine Garch model, trying to capture persistence of volatility shocks and also higher order conditional dynamics in a parsimonious way. We select an equivalent martingale measure by means of the conditional Esscher transform as in Buhlmann et al. (1996) and show that this change of measure leads to a similar dynamics of the mixing distribution. The model admits a recursive procedure for the computation of the characteristic function of the terminal logprice, thus allowing semianalytical pricing as in Heston and Nandi (2000). From an empirical point of view, we check the ability of this model to calibrate SPX option data and we compare it with the Heston and Nandi (2000) model and with the Christoffersen, Heston and Jacobs (2006) model, that is based on Inverse Gaussian innovations. Moreover, we provide a detailed comparison with several variants of the Heston and Nandi model that shows the superiority of the Variance-Gamma innovations also from the point of view of historical MLE estimation.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 분산-감마 분포를 사용하여 변동성 군집화와 고차원 수익률 역학을 포착하는 동적 확률적 변동성 모델을 개발한다.
• 혼합 분포의 구조를 유지하는 조건부 에스처 전환을 적용하여 등가 마링갈 측도를 유도한다.
• 종료 시점의 로그 가격 특성 함수의 반복적 계산을 통해 효율적인 반분석적 옵션 가격 설정을 가능하게 한다.
• 기존의 헤스톤-나디 및 크리스토퍼센 등(2006) 모델과 비교하여 S&P 500 옵션 데이터에 대한 캘리브레이션 성능을 실증적으로 평가한다.
• 옵션에 내재된 및 역사적 최대우도 추정을 모두 사용하여 DVG 모델을 헤스톤-나디 모델의 여러 변종과 비교한다.

제안 방법

• 로그 수익률의 조건부 분포를 분산-감마 분포로 모델링하며, 이는 시간에 따라 변하는 감마 혼합 밀도를 가진 정규 분포-평균 혼합이다.
• 감마 혼합 밀도가 아핀 GARCH 과정을 따르도록 가정하여 변동성의 지속성과 동적 조건부 모멘트를 포착한다.
• 물리적 측도에서 위험 중립 측도로의 전환을 위해 조건부 에스처 전환을 적용하며, 이로 인해 변환된 혼합 분포가 유사한 동적 구조를 유지한다.
• 종료 시점의 로그 가격 특성 함수를 계산하기 위한 반복 알고리즘을 유도하며, 이는 특성 함수의 역변환을 통한 반분석적 가격 설정을 가능하게 한다.
• 특성 함수를 활용하여 푸리에 변환 가격 설정 프레임워크를 기반으로 수치적 적분을 통해 옵션 가격을 계산한다.
• S&P 500 옵션 데이터에 모델을 캘리브레이션하고, 내재 변동성 및 역사적 우도를 사용하여 헤스톤-나디 및 IG 기반 모델과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GARCH에 의해 구동되는 동적 분산-감마 모델은 변동성 군집화와 뚜렷한 꼬리 특성을 포함한 금융 수익률의 전형적 특성을 효과적으로 포착할 수 있는가?
• RQ2 조건부 에스처 전환은 위험 중립 측도 하에서 혼합 분포의 구조적 형태를 유지하는가? 이는 해석 가능한 가격 설정을 가능하게 하는가?
• RQ3 S&P 500 옵션 데이터에 대한 피팅에서 DVG 모델은 헤스톤-나디 및 크리스토퍼센 등(2006) 모델보다 캘리브레이션 정확도가 높은가?
• RQ4 역사적 최대우도 추정에서 분산-감마 혁신 구조는 역삼각분포 혁신보다 성능이 뛰어나지 않는가?
• RQ5 특성 함수의 반복적 계산은 동적 분산-감마 프레임워크 내에서 효율적이고 정확한 옵션 가격 설정을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 동적 분산-감마 모델은 시간에 따라 변하는 감마 혼합 분포를 통해 변동성 지속성과 고차원 조건부 역학을 성공적으로 포착한다.
• 조건부 에스처 전환은 혼합 분포의 아핀 구조를 유지하는 위험 중립 동역학을 도출하며, 이는 해석 가능성을 보장한다.
• 특성 함수의 반복적 계산을 통해 반분석적 옵션 가격 설정이 가능해지며, 이는 효율적인 수치적 구현을 가능하게 한다.
• S&P 500 옵션에 대한 실증적 캘리브레이션 결과, DVG 모델은 내재 변동성 곡면의 피팅에서 헤스톤-나디 및 크리스토퍼센 등(2006) 모델을 모두 능가하는 것으로 나타났다.
• 다양한 헤스톤-나디 모델의 변종과 비교했을 때, 분산-감마 혁신 구조는 역사적 최대우도 추정 성능에서 뛰어난 성능을 보였다.
• 옵션에 내재된 및 역사적 추정 프레임워크 양쪽 모두에서 DVG 모델은 강건성과 정확성을 입증하며, 그 실증적 관련성을 확인했다.