[논문 리뷰] Option Pricing in a Regime Switching Jump Diffusion Model

Anindya Goswami, Omkar Manjarekar외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 28.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 23인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 시장 제도가 지속 기간에 따라 변화하는 반응-전환 마크로프로세스를 따르고 자산 가격이 점프를 경험하는 유럽형 옵션 가격 정책을 위한 제도 전환 점프 확산 모델을 개발한다. Föllmer-Schweizer 분해를 통해 비정규, 국소적이지 않은, 선형 포물형 적분-미분 방정식에 대한 고전적 해의 존재성과 유일성을 확립하여, 제도 변화와 점프를 동시에 고려하는 불완전 시장에서 최적 헤징을 가능하게 한다.

ABSTRACT

This paper presents the solution to a European option pricing problem by considering a regime-switching jump diffusion model of the underlying financial asset price dynamics. The regimes are assumed to be the results of an observed pure jump process, driving the values of interest rate and volatility coefficient. The pure jump process is assumed to be a semi-Markov process on finite state space. This consideration helps to incorporate a specific type of memory influence in the asset price. Under this model assumption, the locally risk minimizing price of the European type path-independent options is found. The Föllmer-Schweizer decomposition is adopted to show that the option price satisfies an evolution problem, as a function of time, stock price, market regime, and the stagnancy period. To be more precise, the evolution problem involves a linear, parabolic, degenerate and non-local system of integro-partial differential equations. We have established existence and uniqueness of classical solution to the evolution problem in an appropriate class.

연구 동기 및 목표

• 기존 모델이 자산 가격 역학에서 점프 불연속성과 지속 기간에 따라 변화하는 제도 전환을 동시에 반영하지 못하는 격차를 보완하기 위해.
• 반응-전환 점프 확산 모델이 반응-전환 마크로프로세스에 의해 구동될 때, 무위험 거래가 가능한지 여부를 확립하기 위해.
• 이 모델 하에서 유럽형 경로에 의존하지 않는 옵션의 국소적으로 위험 최소화된 가격을 유도하기 위해.
• 결과적으로 발생하는 진화 문제에 대해 비국소적이며 비정규적인 포물형 적분-미분 방정식계에 대한 고전적 해의 존재성과 유일성을 증명하기 위해.
• 시간, 주식 가격, 시장 제도, 정체 기간을 포함한 해를 기술함으로써 최적 헤징 전략을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 유한 상태의 반응-전환 마크로프로세스를 사용하여 제도 전환을 모델링하고, 일반적인 체류 시간 분포를 가진 반응-전환 마크로프로세스에 의해 제어되는 자산 가격 역학을 수립한다.
• 가격 과정의 양성과 적분 가능성 보장을 위해 점프 크기 분포가 유계이면서 η(z) > -1를 만족한다고 가정한다.
• 국소적으로 위험 최소화된 가격을 도출하기 위해 Föllmer-Schweizer 분해를 적용하며, 이는 시간, 주식 가격, 제도, 정체 기간을 포함하는 적분-미분 방정식계(Integro-Partial Differential Equations, IPDEs)로 이어진다.
• 계수의 유계성과 연속성 가정을 통해 적절한 함수 공간에서 IPDE계의 고전적 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 점프 성분의 모멘트 생성 함수 분석과 리비에 측도의 유한성 활용을 통해 자산 가격 과정의 제곱 적분 가능성을 확립한다.
• 계수 함수의 시간 연속성과 균일한 유계성으로 유계 선형 사상 공간 내의 관련 선형 연산자의 연속성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반응-전환 마크로프로세스에 의해 구동되는 제도 전환 점프 확산 모델이 점프 분포에 대한 적절한 조건을 만족할 경우, 무위험 가격 정책이 가능한가?
• RQ2 지속 기간에 따라 변화하는 제도 전환과 점프 불연속성을 동시에 포함할 경우, 불완전 시장에서 옵션 가격 정책 PDE에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이 하이브리드 모델 설정에서 Föllmer-Schweizer 분해를 적용하여 국소적으로 위험 최소화된 가격을 도출할 수 있는가?
• RQ4 결과적으로 발생하는 비국소적이며 비정규적인 포물형 IPDE계의 해에 대한 정규성과 존재성 성질은 무엇인가?
• RQ5 이 모델 하에서 자산 가격 과정의 제곱 적분 가능성은 어떤 조건에서 보장되는가?

주요 결과

• 점프 크기 분포가 η(z) > -1를 만족하고 두 번째 모멘트가 유한할 경우, SDE의 해의 양성과 적분 가능성에 의해 이 조건 하에서 무위험 거래가 보장된다.
• 유럽형 옵션의 국소적으로 위험 최소화된 가격은 시간, 주식 가격, 제도, 정체 기간을 포함하는 비정규적이며 비국소적인 선형 포물형 적분-미분 방정식계를 만족한다.
• 적절한 함수 공간에서 진화 문제에 대한 고전적 해의 존재성과 유일성이 확립되어, 가격 정책 문제의 수학적 잘 정의됨을 보장한다.
• 해가 유한 시간 구간에서 제곱 적분 가능하다는 것이 입증되었으며, 이는 Föllmer-Schweizer 분해와 최적 헤징의 타당성을 위해 필수적이다.
• 최적 헤징 전략은 Föllmer-Schweizer 분해로부터 도출되며, 연속 거래 하에서 제곱 잔여 위험을 최소화한다.
• 계수 함수의 시간 연속성과 유계성은 관련 선형 연산자가 유계 선형 사상 공간 내에서 연속적임을 보여주며, 해의 정규성에 기여한다.