[논문 리뷰] Option Pricing in Multivariate Stochastic Volatility Models of OU Type

Johannes Muhle‐Karbe, Oliver Pfaffel외 1명|RePEc: Research Papers in Economics|2010. 01. 19.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 OU 유형의 다변량 확률적 볼라티리티 모델을 제안하며, 특성 함수의 해석적 취급을 통해 다자산 옵션과 공분산 스왑의 효율적 가격 책정을 가능하게 한다. 주요 기여는 푸리에 방법을 활용한 옵션 및 공분산 스왑 가격에 대한 폐쇄형 해를 도출한 것으로, 외환 시장 데이터에 대한 校정을 통해 OU-Wishart 사양에서 검증되었다.

ABSTRACT

We present a multivariate stochastic volatility model with leverage, which is flexible enough to recapture the individual dynamics as well as the interdependencies between several assets while still being highly analytically tractable. First we derive the characteristic function and give conditions that ensure its analyticity and absolute integrability in some open complex strip around zero. Therefore we can use Fourier methods to compute the prices of multi-asset options efficiently. To show the applicability of our results, we propose a concrete specification, the OU-Wishart model, where the dynamics of each individual asset coincide with the popular Gamma-OU BNS model. This model can be well calibrated to market prices, which we illustrate with an example using options on the exchange rates of some major currencies. Finally, we show that covariance swaps can also be priced in closed form.

연구 동기 및 목표

• 개별 자산의 동적 거동과 상관관계, 특히 확률적 상관계수와 레버리지 효과를 모두 반영하면서도 유연하고 해석적으로 다룰 수 있는 다변량 확률적 볼라티리티 모델을 개발하는 것.
• 복소수 영역의 개방된 스트립에서 특성 함수의 해석성과 절대 적분 가능성을 보장하는 조건을 설정하여, 푸리에 기반 옵션 가격 책정의 효율성을 확보하는 것.
• 외환 옵션에 특히 적합한 실제 시장 데이터에 校정 가능한 구체적 사양인 OU-Wishart 모델을 제안하는 것.
• 프레임워크를 확장하여 다자산 볼라티리티 트레이딩에서 핵심 파생상품인 공분산 스왑의 폐쇄형 가격 책정을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 로그 수익률과 확률적 볼라티리티를 결합된 확률미분방정식으로 모델링: dY_t = (μ + β(Σ_t))dt + Σ_t^{1/2} dW_t + ρ(dL_t), dΣ_t = (AΣ_t + Σ_t A^T)dt + dL_t, 여기서 L은 행렬 서브도미네이터이다.
• Σ_t에 대해 일반화된 OU 유형의 과정을 사용하여 평균 회귀 성향과 점프에 의한 영향을 반영함으로써 볼라티리티 집중 현상과 급격한 시장 충격을 모의하는 것.
• 레비 서브도미네이터 L에 대한 약한 적분 가능성 및 해석 가능성 조건 하에서 수익률 과정의 특성 함수를 폐쇄형으로 유도하는 것.
• 수치적 적분을 통해 복소수 영역에서 효율적으로 유럽 옵션 가격을 계산하기 위해 푸리에 역변환 기법(Carr-Madan, Raible)을 적용하는 것.
• 복합 포아송 점프와 위샤르트 분포를 가진 증분을 갖는 OU-Wishart 모델을 사양하여 모멘트의 취급 용이성과 실제 시장 데이터에 대한 校정 가능성을 확보하는 것.
• 레비 서브도미네이터의 모멘트 생성 함수와 행렬 지수 항을 활용해 이차 변동도의 기대값을 계산함으로써 공분산 스왑 수익률에 대한 폐쇄형 표현식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레버리지 효과와 확률적 상관계수를 포함한 다변량 확률적 볼라티리티 모델을 구성할 수 있으며, 옵션 가격 책정에 대해 해석적으로 다룰 수 있는가?
• RQ2 다변량 수익률 과정의 특성 함수가 복소수 스트립에서 해석적이며 절대 적분 가능한 조건은 무엇인가, 이를 통해 푸리에 기반 가격 책정이 가능하게 되는가?
• RQ3 제안된 모델은 실제로 외환 시장의 옵션 가격 데이터에 효과적으로 校정될 수 있는가, 예를 들어 주요 환율에 대한 옵션에 대해?
• RQ4 확률적 볼라티리티와 점프를 수반한 다변량 환경에서 공분산 스왑 수익률에 대한 폐쇄형 표현식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 레비 서브도미네이터 L에 대한 약한 적분 가능성 조건 하에서, 다변량 수익률 과정의 특성 함수는 영점 주변의 개방된 복소수 스트립 내에서 해석적이며 절대 적분 가능함을 보장하며, 이는 강력한 푸리에 기반 가격 책정을 가능하게 한다.
• 일반적 프레임워크의 구체적 사양인 OU-Wishart 모델은 옵션 가격과 공분산 스왑 수익률의 폐쇄형 계산을 가능하게 하며, 이차 변동도 기대값에 대한 명시적 공식이 도출되었다.
• 공분산 스왑 수익률은 E([Y^i,Y^j]_T) = (E(Σ_T^+))^{ij} + T ∫ ρ^i(X)ρ^j(X) κ_L(dX) 형태로 폐쇄형으로 계산되며, 위샤르트 분포를 가진 점프에 대한 명시적 모멘트 표현식이 포함되어 있다.
• 2차원 OU-Wishart 모델에서 정규화된 공분산 스왑 수익률은 행렬 지수와 점프 분포의 모멘트를 포함하는 폐쇄형 표현식으로 주어지며, 이는 직접적으로 시장 데이터에 대한 校정을 가능하게 한다.
• 모델은 주요 통화쌍에 대한 옵션 시장 가격에 성공적으로 校정되었으며, 이는 다자산의 공동 동적 거동을 잘 반영하는 실용성과 유연성을 입증한다.