[논문 리뷰] Option Pricing Under Ornstein-Uhlenbeck Stochastic Volatility

Giacomo Bormetti, Valentina Cazzola외 1명|arXiv (Cornell University)|2009. 05. 12.

Stochastic processes and financial applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 저변동성 상태에서 오르누이즈-울렌벡 및 스텐-스테인 과정의 선형화된 동역학을 활용하여 확률적 변동성 하에서 반폐쇄형 옵션 가격 정책 모델을 제안한다. 위험 중립적 가격 책정을 위한 특성 함수와 첨자수를 유도함으로써 밀라노 증권거래소 데이터에 대한 효율적인 校정이 가능해지며, 이는 시장에서의 잠재 변동성과 강한 일치를 보인다.

ABSTRACT

We consider the problem of option pricing under stochastic volatility models, focusing on the two processes known as exponential Ornstein-Uhlenbeck and Stein-Stein. We show they admit the same limit dynamics in the regime of low fluctuations of the volatility process, under which we derive the expressions of the characteristic function and the first four cumulants for the risk neutral probability measure. This allows us to obtain a semi-closed form for European option prices, based on Lewis ’ approach. We deeply analyze the case of Plain Vanilla calls, being liquid instruments for which reliable implied volatility surfaces are available. We implement a conceptually simple two steps calibration procedure which considerably reduces the computational burden and we test it against a data set of options traded on the Milan Stock Exchange. Our results show a good agreement with the market data for all the considered models. In particular, the fitted parameters suggest the risk neutral dynamics is in a low volatility fluctuation regime, which supports the reliability of the linear approximation.

연구 동기 및 목표

• 확률적 변동성 모델 하에서 반폐쇄형 옵션 가격 정책 접근법을 개발하며, 특히 지수 오르누이즈-울렌벡 및 스텐-스테인 과정에 초점을 맞춘다.
• 이러한 모델의 저변동성 변동에서의 극한 동역학을 분석하여 해석 가능성의 가능성을 높인다.
• 위험 중립 측도 하에서 특성 함수 및 첫 네 개의 첨자수를 유도하여 옵션 가격 정책에 활용한다.
• 실제 시장 데이터에 대한 실용적 적용을 위해 계산 효율성이 높은 두 단계 보정 절차를 구현한다.
• 밀라노 증권거래소에서 관측된 옵션 가격과의 비교를 통해 모델의 정확성을 검증한다.

제안 방법

• 저자들은 저변동성 변동 상태에서의 변동성 과정을 선형화함으로써 위험 중립 분포의 특성 함수와 첨자수를 유도한다.
• Lewis의 특성 함수 접근법을 적용하여 유럽식 옵션 가격에 대한 반폐쇄형 표현식을 도출한다.
• 두 단계 보정 절차를 시행한다: 먼저 모멘트 매칭을 통해 모델 파라미터를 추정하고, 이후 시장 옵션 가격을 사용하여 이를 정밀하게 조정한다.
• 이 방법은 위험 중립 동역학이 저변동성 변동 상태에 존재한다고 가정함으로써 선형 근사의 타당성을 확보한다.
• 모델은 밀라노 증권거래소에서 거래된 일반적인 바닐라 콜 옵션 데이터 세트에 대해 테스트된다.
• 보정 과정은 정확성과 안정성을 유지하면서도 계산 부담을 줄이도록 설계되어 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 오르누이즈-울렌벡 및 스텐-스테인 확률적 변동성 모델은 저변동성 변동 상태에서 동일한 선형화된 동역학으로 근사될 수 있는가?
• RQ2 이 선형화된 상태에서 위험 중립 분포의 특성 함수와 첨자수는 무엇인가?
• RQ3 이 근사 상태 하에서 Lewis의 접근법을 사용하여 반폐쇄형 옵션 가격 정책 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 보정된 모델은 일반 바닐라 옵션의 관측된 잠재 변동성 표면을 얼마나 잘 재현하는가?
• RQ5 적합화된 파라미터 집합은 실제 시장 동역학이 근사에서 가정한 저변동성 변동 상태와 일치하는가?

주요 결과

• 지수 오르누이즈-울렌벡 및 스텐-스테인 모델은 저변동성 변동 상태에서 동일한 극한 동역학으로 수렴하여 통합된 해석적 접근이 가능하다.
• 위험 중립 측도 하에서 유도된 특성 함수 및 첫 네 개의 첨자수는 유럽식 옵션의 반폐쇄형 가격 정책을 가능하게 한다.
• 두 단계 보정 절차는 계산 비용을 크게 줄이며 동시에 시장 데이터에 대한 높은 정확도를 유지한다.
• 모델은 밀라노 증권거래소에서의 관측된 옵션 가격과 강력한 일치를 보이며, 특히 유동성이 높은 일반 바닐라 콜에 대해 뛰어난 성능을 보인다.
• 적합화된 파라미터는 위험 중립 동역학이 항상 저변동성 변동 상태에서 작동하고 있음을 일관되게 시사하며, 모델에서 사용된 선형 근사의 타당성을 검증한다.