[논문 리뷰] Option Pricing with Time-Varying Volatility Risk Aversion

Peter Reinhard Hansen, Tong Chen|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 14.

Stochastic processes and financial applications인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 헤스턴-나디 GARCH 모형 내에서 시간에 따라 변하는 분산 리스크 프리미엄 위험 회피 프레임워크를 제안하며, 분산 리스크 비율(ηₜ = hₜ*/hₜ)이 시간에 따라 변하는 가격 결정 커널의 곡률을 이끄는 바탕이 된다. 이는 VIX와 옵션 가격 설정에 대한 닫힌 형태의 해를 가능하게 한다. 모형은 표본 내 및 표본 외에서 파생상품 가격 설정 오차를 50퍼센트 이상 감소시키며, ηₜ는 정서, 불확실성, 경제적 기초 요인과 밀접하게 연관되어 있다.

ABSTRACT

We introduce a pricing kernel with time-varying volatility risk aversion to explain observed time variations in the shape of the pricing kernel. When combined with the Heston-Nandi GARCH model, this framework yields a tractable option pricing model in which the variance risk ratio (VRR) emerges as a key variable. We show that the VRR is closely linked to economic fundamentals, as well as sentiment and uncertainty measures. A novel approximation method provides analytical option pricing formulas, and we demonstrate substantial reductions in pricing errors through an empirical application to the S&P 500 index, the CBOE VIX, and option prices.

연구 동기 및 목표

• 표본 가격 결정 커널이 U자형 및 역U자형을 포함한 시간에 따라 변하는 형태를 띠는 현상(스타일라이즈드 팩트)을 표준 모형이 포착하지 못하는 데 대비하여 이를 해결하고자 한다.
• VIX 및 옵션 가격에 대해 닫힌 형태의 해를 유지하면서도 시간에 따라 변하는 변동성 리스크 회피를 가격 결정 커널에 통합할 수 있는 실용적인 프레임워크를 개발하고자 한다.
• 분산 리스크 비율(ηₜ)이 가격 결정 커널의 시간에 따른 변동성의 근본적 원인이며, 시장 리스크 프리미엄을 예측하는 핵심 지표임을 보여주고자 한다.
• 특히 시장의 위기 상황이나 정서 변화가 일어나는 기간에 시간에 따라 변하는 리스크 회피를 모델링하여 파생상품 가격 설정 오차를 줄이고자 한다.
• 분산 리스크 비율과 경제적 기초 요인, 정서 지표, 불확실성 측정치 사이의 연관성을 확립하고자 한다.

제안 방법

• 분산 리스크 비율 ηₜ = hₜ*/hₜ에 기반하여 곡률이 함수적으로 연결된 시간에 따라 변하는 리스크 회피를 가진 가격 결정 커널을 도입한다.
• 헤스턴-나디 GARCH 모형과 시간에 따라 변하는 가격 결정 커널을 조합하여, ηₜ가 사전 결정된 경우 VIX에 대한 닫힌 형태의 표현식을 유도한다.
• ηₜ가 확률적 과정을 따를 경우 옵션 가격을 계산하기 위한 새로운 테일러 급수 기반의 근사 방법을 개발하며, 이는 VIX 공식을 기준으로 삼는다.
• ηₜ의 시간적 변동성을 모델링하기 위해 스코어드라이브드 접근법을 사용하여, 경제적 및 정서 지표에 반응할 수 있도록 한다.
• 거시경제적 및 정서 변수를 통제하면서 S&P 500 수익률과 옵션 가격을 사용하여 모형을 실증적으로 추정한다.
• 이중 단계 추정 방법을 활용: 먼저 스코어드라이브드 동역학을 통해 ηₜ를 추정하고, 이를 바탕으로 옵션 가격을 산정하며 VIX를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 리스크 회피를 가진 가격 결정 커널이 관찰된 실증 가격 결정 커널의 형태 변화를 설명할 수 있는가?
• RQ2 분산 리스크 비율(ηₜ)을 통해 시간에 따라 변하는 분산 리스크 회피를 도입함으로써 옵션 가격 설정 정확도가 유의미하게 향상되는가?
• RQ3 분산 리스크 비율(ηₜ)은 경제적 기초 요인, 정서, 불확실성 측정치와 체계적으로 연관되어 있는가?
• RQ4 시간에 따라 변하는 ηₜ 하에서 VIX 및 옵션 가격에 대해 닫힌 형태 또는 정확한 근사 방법을 도출할 수 있는가?
• RQ5 정적 리스크 회피 모형과 비교해 볼 때, 모형은 표본 내 및 표본 외에서 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 분산 리스크 비율(ηₜ)은 가격 결정 커널의 시간에 따른 변동성의 근본적 원인이며, 리스크 회피 파rameter의 곡률과 함수적으로 연결되어 있다.
• 모형은 표본 내 및 표본 외 테스트에서 파생상품의 제곱근 평균 제곱 오차를 50퍼센트 이상 감소시킨다.
• 분산 리스크 비율은 정서 지표, 불확실성 측정치, 그리고 단기금리 스푸레드 및 주식 리스크 프리미엄과 같은 주요 거시경제 변수와 유의미하게 상관되어 있다.
• 모형은 ηₜ의 수준과 동적 특성에 따라 실제로 관찰된 다양한 가격 결정 커널 형태, 즉 U자형 및 역U자형 형태를 생성한다.
• 확률적 ηₜ 하에서 옵션 가격을 계산하기 위한 새로운 근사 방법은, ηₜ가 사전 결정된 경우 VIX 공식에 맞추어 변동성을 조정함으로써 매우 정확한 결과를 도출한다.
• ηₜ가 사전 결정된 경우 VIX 및 옵션 가격에 대해 닫힌 형태의 해를 유지하지만, ηₜ가 확률적일 경우 근사가 필요하며, 이는 테일러 급수 기반 방법으로 성공적으로 해결되었다.