[논문 리뷰] Option Pricing without Price Dynamics: A Probabilistic Approach

Dimitris Bertsimas, Natasha Bushueva|ArXiv.org|2006. 12. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 다수의 만기 및 행사가격에서 관측된 콜옵션 가격만을 사용하여 연속적이고 조각별로 선형인 수익을 가진 유럽식 옵션 가격의 날카운 가격 상한 및 하한을 계산하기 위한 확률적이고 무아웃라이어 조건 기반의 접근법을 개발한다. 문제를 선형 최적화 과제로 재구성함으로써, 기초 자산 가격의 동역학이나 일정한 변동성을 가정하지 않고도 정확하고 渐近적으로 정확한 알고리즘을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Employing probabilistic techniques we compute best possible upper and lower bounds on the price of an option on one or two assets with continuous piecewise linear payoff function based on prices of simple call options of possibly distinct maturities and the no-arbitrage condition, but without any assumption on the price dynamics of underlying assets. We show that the problem reduces to solving linear optimization problems that we explicitly characterize. We report numerical results that illustrate the effectiveness of the algorithms we develop.

연구 동기 및 목표

• 다양한 만기 및 행사가격에서 관측된 콜옵션 가격을 바탕으로, 연속적이고 조각별로 선형인 수익을 가진 유럽식 옵션의 가격에 대해 가능한 한 날카로운 상한 및 하한을 결정하는 것.
• 다양한 만기에서 관측된 옵션 가격이 무아웃라이어 원칙에 따라 일관되게 유지되기 위한 필수 및 충분 조건을 설정하는 것.
• 기초 자산 가격의 모멘트 및 옵션 가격 제약 조건을 고려하여, 다중 자산 옵션, 특히 바스켓 옵션의 경우 자산 수익률의 공동 분포를 특성화함으로써 프레임워크를 다중 자산 옵션으로 확장하는 것.
• 고차원 설정에서 발생하는 최적화 문제를 해결하기 위한 계산 효율성이 높은 알고리즘—정확한 알고리즘과 渐近적으로 정확한 알고리즘—을 개발하는 것.
• 기존의 단일 자산 옵션에 대한 경계를 다중 자산 및 다중 만기 상황으로 일반화하면서, 최소한의 가정 하에 최적성을 유지하는 것.

제안 방법

• 관측된 콜옵션 가격과 일치하는 타당한 마팅게일 측도의 집합을 특성화하여 옵션 가격 문제를 선형계획문제로 재구성하는 것.
• 기하학적 및 확률적 추론을 통해 문제를, 수익률 초평면이 형성하는 다면체 그래프의 정점에 지지된 원자 측도 위에서 최적화하는 것으로 단순화하는 것.
• 기존의 비선형 제약 조건을 선형 형태로 변환하기 위해 변수 변환 및 매개변수화 기법을 적용하여 선형 최적화를 통해 효율적으로 해결할 수 있도록 하는 것.
• 두 가지 알고리즘을 도입: 하나는 크기가 지수적으로 증가할 수 있지만 정확한 알고리즘이고, 다른 하나는 다항식 크기의 서술을 사용하여 해를 임의로 정밀하게 근사하는 渐近적으로 정확한 알고리즘으로 실용적 구현에 적합한 것.
• 이중 자산 옵션으로의 확장을 위해, 공동 가격 공간 위에 그래프 구조를 정의하고 시간과 영역 간의 마팅게일 일관성을 보장하는 것.
• 기초 자산 가격의 유한한 지지(set)를 도입하여 유한한 정점 집합의 존재를 보장함으로써 기초 분포의 이산적 근사화를 가능하게 하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 만기 및 행사가격에서 관측된 콜옵션 가격을 바탕으로, 연속적이고 조각별로 선형인 수익을 가진 유럽식 옵션의 가격에 대해 가능한 한 날카로운 상한 및 하한은 무엇인가?
• RQ2 다양한 만기에서 관측된 옵션 가격이 무아웃라이어 시장과 일관되게 유지되기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 기초 자산의 특정 가격 동역학을 가정하지 않고도 옵션 가격 문제를 어떻게 선형 최적화 과제로 재구성할 수 있는가?
• RQ4 수익 함수가 조각별로 선형인 경우, 다중 자산 옵션의 경계를 정확하게 계산하거나 효율적으로 근사화할 수 있는가?
• RQ5 해결 방법은 다수의 기초 자산과 다양한 만기를 가진 바스켓 옵션으로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 날카로운 옵션 가격 경계를 계산하는 문제는, 최적 해가 다면체 그래프의 정점에 지지된 이산 확률 분포에 의해 달성되는 선형 최적화 문제로 축소된다.
• 다양한 만기를 가진 단일 자산 옵션의 경우, 무아웃라이어 조건을 만족하기 위한 필수 및 충분 조건은 시간 점들 사이에서 일관된 마팅게일 측도의 존재에 기반한다.
• 정확한 알고리즘은 크기가 지수적으로 증가할 수 있는 선형 프로그램을 포함하지만, 渐近적으로 정확한 알고리즘은 해를 임의로 정밀하게 근사할 수 있는 다항식 크기의 서술을 사용한다.
• 이중 자산의 경우, 수익률 초평면이 형성하는 그래프의 정점에 원자 분포를 할당하여 모든 제약 조건을 만족하는 마팅게일을 구성함으로써 시간과 영역 간의 일관성을 보장한다.
• D’Aspremont과 El Ghaoui(2004)가 제기한 바스켓 옵션 경계 문제를 일반화하고 정확히 해결하며, 이들의 근사화된 해를 초월해 정확한 해를 제공한다.
• 수익 함수가 볼록이 아니더라도 상태 공간을 확장하고 미래 및 과거 제약 조건을 동일하게 다룸으로써 문제를 처리할 수 있으나, 이중 차원의 경우 근사화 없이선 선형 형태를 잃게 된다.