[논문 리뷰] Options on Hedge Funds under the High Water Mark Rule

Marc Atlan, Hélyette Geman외 1명|arXiv (Cornell University)|2005. 10. 24.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고수준 마크 규칙 하에 헤지 펀드에 대한 플레인바닐라 콜옵션의 평가 모델을 개발한다. 기하 브라운 motion의 국소 시간을 사용하여 옵션 가격의 라플라스 변환을 유도하고, 이를 수치적으로 역행렬화한다. 주요 기여는 성과 수수료가 펀드의 최고 순자산가치(NAV)에 연동되는 것을 고려한 수학적으로 엄밀한 프레임워크를 제공하는 것으로, 변동성, 행사가격, 고수준 마크 수준에 대한 명시적 의존성을 포함한 확률적 동역학 하에서 정확한 가격 책정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

The rapidly growing hedge fund industry has provided individual and institutional investors with new investment vehicles and styles of management. It has also brought forward a new form of performance contract: hedge fund managers receive incentive fees which are typically a fraction of the fund net asset value (NAV) above its starting level - a rule known as high water mark. Options on hedge funds are becoming increasingly popular, in particular because they allow investors with limited capital to get exposure to this new asset class. The goal of the paper is to propose a valuation of plain-vanilla options on hedge funds which accounts for the high water market rule. Mathematically, this valuation leads to an interesting use of local times of Brownian motion. Option prices are numerically computed by inversion of their Laplace transforms.

연구 동기 및 목표

• 산업에서 표준적인 인cent브 수수료 구조인 고수준 마크 규칙을 고려한 헤지 펀드 옵션에 대한 공식적 평가 프레임워크의 부재를 해결하기 위해.
• 초기 진입 NAV 수준을 초월할 경우에만 발동되는 성과 수수료가 옵션 가격 동역학에 미치는 영향을 모델링하기 위해.
• 확률 과정을 활용하여 고수준 마크 계약의 경로에 의존하는 성격을 반영함으로써 기존 옵션 가격 책정 모델을 확장하기 위해.
• 라플라스 변환 역행렬화를 통한 수치적 해법을 제공하여 현실적인 시장 조건 하에서 옵션 가격을 실용적으로 계산할 수 있도록 하기 위해.

제안 방법

• 위험 중립 측도 하에서 위험 없는 금리, 관리 수수료, 성과 수수료를 고려해 드리프트가 조정된 기하 브라운 motion으로 헤지 펀드의 순자산가치(NAV)를 모델링한다.
• 성과 수수료를 고수준 마크(초기 NAV)를 초월하는 NAV에 대한 함수로 정의하며, 옵션 유사 수수료 구조를 포착하기 위해 지표 함수를 사용한다.
• 산문 이론과 브라운 운동의 국소 시간을 적용하여 옵션 가격의 만기에서의 라플라스 변환을 도출함으로써 분석적 취급 가능성을 확보한다.
• 라플라스 변환의 수치적 역행렬화를 통해 다양한 행사가격, 만기 및 파rameter 설정에서의 옵션 가격을 계산한다.
• 성과 수수료가 0일 경우에 한해 메르톤(1973) 옵션 가격 책정 공식을 정확히 복원함으로써 모델을 검증한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션을 활용한 수치 실험을 통해 라플라스 변환 역행렬화 방법의 정확성과 강건성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 성과 수수료가 초기 NAV 수준을 초월할 경우에만 발동되는 것으로 알려진 고수준 마크 규칙이 헤지 펀드 NAV에 대한 콜옵션 가격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 기하 브라운 motion을 따르는 기초 자산의 NAV와 고수준 마크를 통한 경로에 의존하는 수수료 구조가 옵션 가격의 분석적 구조에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 브라운 운동의 국소 시간을 활용하면 이러한 경로에 의존하는 옵션을 평가하기 위한 취급 가능한 수학적 프레임워크를 제공할 수 있는가?
• RQ4 변동성, 내재성, 고수준 마크 수준이 이 모델에서 옵션 가격에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 성과 수수료가 없는 조건에서 모델이 표준 옵션 가격 책정 공식(예: 메르톤)을 어느 정도 정확히 복원하는가?

주요 결과

• 표본 1–4에서 볼 수 있듯이 변동성이 높을수록 옵션 가격이 증가한다. 예를 들어 σ가 20%에서 40%로 상승할 경우, 모든 만기 및 행사가격에서 콜 프리미엄이 유의미하게 증가한다.
• 고수준 마크 수준 H는 옵션 가격에 부정적인 영향을 미친다. H가 증가함에 따라(예: 85에서 115로), 수수료 발동 장벽이 높아져 조기 수수료 지급 가능성이 감소하고 옵션 가치가 증가한다.
• 성과 수수료가 제거된 경우(a=0) 모델은 정확히 메르톤(1973) 공식을 복원한다. 이는 표본 5에서 확인되었으며, 수치적 역행렬화 방법의 타당성을 입증한다.
• 모델은 옵션 가격이 초과 수익률 α와 관리 수수료 c에 민감하게 반응함을 보여주며, 높은 α는 옵션 가치를 증가시키고, 높은 c는 이를 감소시킨다.
• 라플라스 변환 역행렬화 방법은 매우 정확한 결과를 도출하며, 수수료가 0인 극한에서 분석 기준값과 최소 4자리 소수까지 일치한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션은 라플라스 변환 접근법의 수치적 안정성과 정밀도를 확인하며, 실무 적용에 있어서의 신뢰성을 강화한다.