[논문 리뷰] Oracle Pushdown Automata, Nondeterministic Reducibilities, and the CFL Hierarchy over the Family of Context-Free Languages

Tomoyuki Yamakami|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 07.

semigroups and automata theory참고 문헌 31인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 오рак루 푸시다운 오토마타와 다수의 한정 진술, 유계 진술표, 튜링 CFL 감소와 같은 비결정적 감소를 사용하여 문맥 자유 언어(CFL)에 대한 새로운 구조 복잡도 프레임워크인 CFL 계층을 제안한다. 이 계층이 다항식 계층이 붕괴하지 않는 한 무한함을 증명하고, 두 번째 수준이 NP = NC²이면 NC²에 포함되지 않음을 보이며, 각 수준에 대해 세 가지 동치의 특성화를 제공하여 부울 계층과 회로 클래스와 연결한다.

ABSTRACT

To expand a fundamental theory of context-free languages, we equip nondeterministic one-way pushdown automata with additional oracle mechanisms, which naturally induce various nondeterministic reducibilities among formal languages. As a natural restriction of NP-reducibility, we introduce a notion of many-one CFL reducibility and conduct a ground work to formulate a coherent framework for further expositions. Two more powerful reducibilities--bounded truth-table and Turing CFL-reducibilities--are also discussed in comparison. The Turing CFL-reducibility, in particular, helps us introduce an exquisite hierarchy, called the CFL hierarchy, built over the family CFL of context-free languages. For each level of this hierarchy, its basic structural properties are proven and three alternative characterizations are presented. The second level is not included in NC(2) unless NP= NC(2). The first and second levels of the hierarchy are different. The rest of the hierarchy (more strongly, the Boolean hierarchy built over each level of the hierarchy) is also infinite unless the polynomial hierarchy over NP collapses. This follows from a characterization of the Boolean hierarchy over the k-th level of the polynomial hierarchy in terms of the Boolean hierarchy over the k+1st level of the CFL hierarchy using log-space many-one reductions. Similarly, the complexity class Theta(k) is related to the closure of the k-th level of the CFL hierarchy under log-space truth-table reductions. We also argue that the CFL hierarchy coincides with a hierarchy over CFL built by application of many-one CFL-reductions. We show that BPCFL--a bounded-error probabilistic version of CFL--is not included in CFL even in the presence of advice. Employing a known circuit lower bound and a switching lemma, we exhibit a relativized world where BPCFL is not located within the second level of the CFL hierarchy.

연구 동기 및 목표

• 비결정적 모델로 감소 개념을 확장하여 형식 언어의 구조 복잡도 이론에 대해 일관된 프레임워크를 개발하는 것, 특히 문맥 자유 언어(CFL)에 초점한다.
• 튜링 CFL 감소를 사용하여 CFL 위에 계층을 정의하는 것. 이는 메이어-스톡마이어 다항식 계층과 유사하다.
• CFL 계층과 다른 복잡도 클래스, 특히 다항식 계층, NC², 그리고 BPCFL와 같은 확률적 클래스 간의 관계를 조사하는 것.
• CFL 계층 내 포함관계와 분리관계를 더 잘 이해하기 위해 국소화된 세계와 오라클 구성 방법을 탐색하는 것.
• CFL의 구조 복잡도 및 그 확장 분야에서의 열린 문제들과 향후 연구 방향을 규명하는 것.

제안 방법

• 비결정적 한방향 푸시다운 오토마타(npda)에 CFL에 속한 언어에 대한 오라클 액세스를 부여하여 다수의 한정 감소, 유계 진술표 감소, 튜링 CFL 감소와 같은 새로운 감소 유형을 정의한다.
• 튜링 CFL 감소를 사용하여 CFL 계층을 정의하며, 각 수준 Σ^CFL_k는 오라클 액세스를 통해 계층의 k번째 수준으로 감소 가능한 언어로 구성된다.
• 로그 시간 다수의 한정 감소를 사용하여 CFL 계층의 k번째 수준 위에 구축된 부울 계층을 다항식 계층의 (k+1)번째 수준과 연결한다.
• 회로 하한과 스위칭 렘마를 적용하여 BPCFL이 CFL 계층의 두 번째 수준에 포함되지 않는 국소화된 세계를 구성한다.
• Dyck 언어와 그 성질을 CFL의 표준 완전 언어로 사용하여 감소와 계층 구성의 기반을 확립한다.
• CFL 계층의 각 수준에 대해 세 가지 동치의 특성화를 확립하며, 이는 로그 시간 진술표 감소에 대한 닫힘성과 부울 계층과의 연결성을 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 CFL 계층은 무한한가? 붕괴 조건은 무엇인가?
• RQ2 CFL 계층의 두 번째 수준은 NC²에 포함되는가? 만약 그렇다면 어떤 함의가 있는가?
• RQ3 CFL 계층의 각 수준 위에 구축된 부울 계층은 다항식 계층과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 BPCFL은 CFL 계층에 포함될 수 있는가? 이러한 포함의 국소화된 함의는 무엇인가?
• RQ5 CFL 계층과 AC¹, NC², L과 같은 잘 알려진 복잡도 클래스 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• CFL 계층은 다항식 계층이 붕괴하지 않는 한 무한하다. 이는 CFL 계층의 k번째 수준 위에 구축된 부울 계층이 다항식 계층의 (k+1)번째 수준과 연결됨을 보여주는 특성화를 통해 입증된다.
• 두 번째 수준의 CFL 계층은 NP = NC²이면 NC²에 포함되지 않으며, 이는 낮은 깊이의 회로 클래스와의 강력한 분리를 시사한다.
• CFL 계층의 첫 번째 수준과 두 번째 수준는 서로 다름을 확인하여 초기 수준에서 붕괴하지 않는 구조를 입증한다.
• 각 수준 위에 구축된 부울 계층은 다항식 계층이 붕괴하지 않는 한 무한하다. 이는 무한성 결과를 더 넓은 닫힘 구조로 확장한다.
• BPCFL은 조언을 제공하더라도 여전히 CFL에 포함되지 않으며, BPCFL이 CFL 계층의 두 번째 수준에 포함되지 않는 국소화된 세계가 존재한다.
• Θ^P_k (O(log n)-질문 수 제한)는 CFL 계층의 k번째 수준이 로그 시간 진술표 감소에 대해 닫혀 있음을 나타내며, 질문 수 제한과 감소 기반 계층 간의 밀접한 연결을 수립한다.