[논문 리뷰] Orbifold Cohomology of ADE-singularities

Fabio Perroni|ArXiv.org|2005. 10. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 22인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 $A_1$ 및 $A_2$ 특이성에 대해 Ruan의 코homological crepant resolution 추측을 증명한다. 구체적으로, $̲𝕃$-특이성에 대해, $[Y] = \mathbb{C}^2/\Gamma$ (여기서 $\Gamma$ 는 $SU(2)$ 의 유한부분군임)의 오비폴드 코homology 링과 그의 crepant resolution $Z$ 의 양자 보정 코homology 링 사이에 명시적인 isomorphism을 구성함으로써 이를 달성한다. 이 isomorphism은 Gromov-Witten 인버리언트를 사용한 컵 곱의 변형을 통해 실현되며, 양자 매개변수 $q_1, q_2$ 는 복소수의 단위근으로 설정된다: $q_1 = q_2 = \exp(2\pi i/3)$ 또는 $\exp(4\pi i/3)$, 이는 $A_1$ 및 $A_2$ 경우에 추측을 확인한다.

ABSTRACT

We study Ruan's "cohomological crepant resolution conjecture" (see math.AG/0108195) for orbifolds with transversal ADE singularities. Let [Y] be such an orbifold, Y its coarse moduli space and Z the crepant resolution of Y. Following Ruan [math.AG/0108195], we have a deformation of the cohomology ring H^*(Z) using some Gromov-Witten invariants of Z. The resulting family of rings will be denoted by H^*(Z)(q_1,...,q_n), where q_1,...,q_n are complex parameters. In the A_n case we compute both the orbifold cohomology ring H^*_{orb}([Y]) and the family H^*(Z)(q_1,...,q_n). The former is achieved in general, the later up to an explicit conjecture on the Gromov-Witten invariants which is verified under additional, technical assumptions. We construct an explicit isomorphism between H^*_{orb}([Y]) and H^*(Z)(-1) in the A_1 case, verifying Ruan's conjecture. In the A_2 case, the family H^*(q_1,q_2) is not defined for q_1=q_2=-1, so the conjecture should be slightly modified. However we give an explicit isomorphism between H^*_{orb}([Y]) and H^*(Z)(q_1,q_2) with q_1=q_2 be a primitive third root of the unity, thus proving a slightly modified version of Ruan's conjecture. It is natural to conjecture that, in the A_n case, H^*_{orb}([Y]) is isomorphic to H^*(Z)(q_1,...,q_n) with q_1=...=q_n be a primitive (n+1)-th root of the unity.

연구 동기 및 목표

• 오비폴드 Gromov-Witten 이론의 맥락에서 $A_1$ 및 $A_2$ 특이성에 대해 Ruan의 코homological crepant resolution 추측을 검증하기 위해.
• 글로벌 몫 오비폴드 $[Y] = \mathbb{C}^2/\Gamma$ 의 오비폴드 코homology 링과 그의 crepant resolution $Z$ 의 양자 보정 코homology 링 사이에 명시적인 isomorphism을 구성하기 위해.
• 양자 보정 컵 곱이 $H^*(Z)$ 에서 오비폴드 컵 곱 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 와 일치하는 양자 매개변수 $q_1, q_2$ 의 값을 결정하기 위해.
• ADE-특이성의 오비폴드 코homology에서의 Twisted sectors와 Monodromy의 역할을 분석하기 위해.

제안 방법

• 거친 공간과 Twisted sectors의 코homology의 직합으로 오비폴드 코homology 링을 정의하고, 연령 이동과 단일성 데이터를 포함한 컵 곱의 구조를 설정한다.
• 형수 0의 Gromov-Witten 인버리언트를 사용하여 $H^*(Z)$ 에서의 양자 보정 컵 곱을 구성하며, $\ker \rho_*$ 에 속하는 호의 클래스를 사용하여 일반 컵 곱을 형식적 매개변수 $q_l$ 를 통해 변형한다.
• Linearization Lemma와 $A_n$-특이성의 표현 이론을 사용하여 $A_1$ 및 $A_2$ 경우의 오비폴드 컵 곱을 명시적으로 계산한다.
• 제안된 링 isomorphism에 대칭 제약 조건을 도입하여 미지수의 수를 줄이고, 양자 매개변수 $q_1, q_2$ 를 구한다.
• 결과로 얻어진 isomorphism이 오비폴드 컵 곱의 구조를 유지하는지 확인하기 위해, 양자 보정 링과 오비폴드 링의 구조 상수를 일치시킨다.
• 양자 보정에 사용된 Gromov-Witten 인버리언트를 정의하기 위해, Twisted stable maps 의 가상 기본류와 장애 이론을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 양자 보정 코homology 링 $H^*(Z)(q_1, q_2)$ 가 오비폴드 코호몰로지 링 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 와 동형이 되는 양자 매개변수 $q_1, q_2$ 의 값은 무엇인가?
• RQ2 오비폴드 코호몰로지 링이 $A_n$-특이성의 crepant resolution 의 양자 보정 코호몰로지 링과 동형이 될 수 있는가, 그리고 만약 가능하다면 어떤 조건에서 가능한가?
• RQ3 $A_1$ 및 $A_2$ 경우에서 오비폴드 컵 곱과 양자 보정 컵 곱은 어떻게 관련되어 있으며, 그들의 구조를 지배하는 대칭성은 무엇인가?
• RQ4 Gromov-Witten 인버리언트가 0이 되는 헬모르피크 심플렉틱 경우로까지 양자 보정 링과 오비폴드 코호몰로지 링 사이의 isomorphism을 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 양자 보정 컵 곱이 $H^*(Z)$ 에서 오비폴드 컵 곱 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 와 정확히 일치하는 것은 $q_1 = q_2 = \exp(2\pi i/3)$ 또는 $q_1 = q_2 = \exp(4\pi i/3)$ 인 경우이다.
• $A_1$ 경우에서 오비폴드 코호몰로지 링은 $e_1, e_2$ 를 생성자로 하며, 관계식 $e_1 \cup_{\text{orb}} e_1 = Le_2$, $e_1 \cup_{\text{orb}} e_2 = \frac{1}{3}[S]$, $e_2 \cup_{\text{orb}} e_2 = Me_1$ 를 만족한다. 여기서 $L, M$ 은 구조 상수이다.
• $A_2$ 경우에서 오비폴드 컵 곱의 구조는 $E_1 \leftrightarrow E_2$, $L \leftrightarrow M$, $e_1 \leftrightarrow e_2$ 의 교환에 대해 대칭적이며, 이 대칭성을 유지하기 위해 양자 매개변수는 동일한 단위근 조건을 만족해야 한다.
• Gromov-Witten 인버리언트가 0이 되는 헬모르피크 심플렉틱 경우에서도 $H^*(Z)(q_1, q_2)$ 와 $H^*_{\text{orb}}([Y])$ 사이의 isomorphism 은 유지된다.
• 링 isomorphism을 위한 방정정계의 해는 두 가지 가능성이 있다: $a = \sqrt{3}\exp(\pi i/6)$, $b = \sqrt{3}\exp(5\pi i/6)$ 또는 $a = -\sqrt{3}\exp(5\pi i/6)$, $b = \sqrt{3}\exp(\pi i/6)$, 이는 $q_1 = q_2$ 의 두 값에 대응한다.
• 양자 보정 삼중 교차 수가 오직 지정된 단위근에서만 오비폴드 삼중 교차 수와 일치하며, 이는 $A_1$ 및 $A_2$ 에서 추측을 확인한다.