[논문 리뷰] Orbifolds of Reshetikhin-Turaev TQFTs

Nils Carqueville, Ingo Runkel외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 05.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 30인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 텐서 카테고리와 결함 TQFT 형식론을 사용하여 리셰티힌-투라에프 위상적 양자미학 이론(TQFTs)에 대한 일반화된 오비폴드 세 종류를 구성한다. 구체적으로, 구형 분할 카테고리들을 통해 트리비얼 리셰티힌-투라에프 이론의 오비폴드임을 보이며, Turaev–Viro 상태합 모델이 등가임을 증명한다. 또한 G-크로스드 확장과 가환 프로베누스 대수로의 프레임워크를 확장하여 모리타 불변성과 함께 Tambara–Yamagami 카테고리 및 수준 k에서의 양자군 카테고리에 대한 명시적 구성법을 제시한다.

ABSTRACT

We construct three classes of generalised orbifolds of Reshetikhin-Turaev theory for a modular tensor category $\mathcal{C}$, using the language of defect TQFT from [arXiv:1705.06085]: (i) spherical fusion categories give orbifolds for the "trivial" defect TQFT associated to vect, (ii) $G$-crossed extensions of $\mathcal{C}$ give group orbifolds for any finite group $G$, and (iii) we construct orbifolds from commutative $Δ$-separable symmetric Frobenius algebras in $\mathcal{C}$. We also explain how the Turaev-Viro state sum construction fits into our framework by proving that it is isomorphic to the orbifold of case (i). Moreover, we treat the cases (ii) and (iii) in the more general setting of ribbon tensor categories. For case (ii) we show how Morita equivalence leads to isomorphic orbifolds, and we discuss Tambara-Yamagami categories as particular examples.

연구 동기 및 목표

• 모듈러 텐서 카테고리 내부 데이터를 사용하여 3차원 결함 TQFT에 대한 오비폴드 구성법을 리셰티힌-투라에프 이론으로 일반화한다.
• 상태합 모델(Turaev–Viro)과 군 오비폴드를 하나의 오비폴드 프레임워크 아래 통합한다.
• 오비폴드 구성법을 모듈러 텐서 카테고리에서 벗어나 리본 분할 카테고리로 확장하고, 모리타 동치 불변성의 탐구를 진행한다.
• 가환 ∆-분리 가능한 대칭 프로베누스 대수와 Tambara–Yamagami 카테고리로부터 오비폴드 데이터의 명시적 구성법을 제공한다.
• 모리타 클래스와 국소 모듈러 카테고리들을 통해 오비폴드 구성법을 알려진 TQFT들(예: 수준 k에서의 아핀 리 대수)과 연결한다.

제안 방법

• 결함 TQFT 프레임워크 내에서 오비폴드 데이터 A를 통해 오비폴드를 구성한다. 여기서 A는 삼등분 경로의 레이블된 스트라타(결함)로 이루어진다.
• 핵심 기술 결과(정리 3.3)를 활용하여 오비폴드 조건을 모듈러 텐서 카테고리 C 내부적으로 재구성한다.
• Turaev–Viro 상태합 구성법을 구형 분할 카테고리 S에 적용하여, 그것이 AS를 통한 트리비얼 이론 Ztriv의 오비폴드로 나타남을 보인다.
• C의 G-크로스드 확장에서 군 오비폴드를 구성하고, 모리타 동치인 확장은 동일한 오비폴드 TQFT를 유도함을 증명한다.
• Tambara–Yamagami 카테고리의 구조를 활용하여 Z2-중복 카테고리에서 오비폴드 데이터를 실현하며, 제곱근 τ에 따라 결정되는 명시적 대수를 유도한다.
• 완전 충실한 리본 함자를 활용하여, 예를 들어 vectZ2,χ와 같은 부분카테고리에서의 오비폴드 데이터를 Ck와 같은 더 큰 모듈러 텐서 카테고리로 올린다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러 텐서 카테고리 C 내부 데이터를 사용하여 리셰티힌-투라에프 TQFT의 일반화된 오비폴드를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 Turaev–Viro 상태합 구성법은 트리비얼 리셰티힌-투라에프 이론의 오비폴드와 동형인가?
• RQ3 G-크로스드 확장의 오비폴드 데이터 분류에서 모리타 동치의 역할은 무엇인가?
• RQ4 C 내부의 가환 ∆-분리 가능한 대칭 프로베누스 대수는 유효한 오비폴드 데이터를 제공할 수 있는가? 그리고 그로 인한 TQFT는 무엇인가?
• RQ5 예를 들어 vectZ2,χ와 같은 부분카테고리에서의 오비폴드 데이터는 수준 k에서의 전체 모듈러 텐서 카테고리 Ck로 어떻게 올릴 수 있는가?

주요 결과

• 모든 구형 분할 카테고리 S에 대해 Turaev–Viro 이론 ZTV,S는 트리비얼 리셰티힌-투라에프 이론 Ztriv의 오비폴드로, 오비폴드 데이터 AS를 통해 동형임을 보였다.
• 트리비얼 이론에 대한 오비폴드 구성법은 상태합 모델을 일반화된 오비폴드로 실현하며, 3차원에서 '상태합 모델은 트리비얼 이론의 오비폴드이다'는 슬로건을 확인한다.
• 임의의 리본 카테고리 C의 G-크로스드 확장 B에 대해 오비폴드 데이터 Aτ가 존재하며, 확장의 모리타 동치에 따라 동일한 오비폴드 TQFT를 유도한다.
• Tambara–Yamagami 카테고리 T YH,χ,τ에서 오비폴드 데이터 Aτ는 대수 1⊕AH로부터 구성되며, 여기서 AH는 H의 정규 대수이다. 오비폴드 TQFT는 오직 제곱근 τ의 선택에 따라 결정된다.
• bsl(2)k 수준 k에 대응하는 모듈러 텐서 카테고리 Ck에 대해 오비폴드 구성법을 적용하면, 가환 ∆-분리 가능한 프로베누스 대수 AE6, AE8, AE7에 대해 원래의 리셰티힌-투라에프 TQFT와 동치인 TQFT를 얻는다.
• 수준 k=16에서 대수 AE7가 비가환적이며 Azumaya가 아니면, 유효한 오비폴드 데이터를 유도하지 못함을 확인하여 현재 프레임워크의 한계를 드러낸다.