[논문 리뷰] Orbit Equivalence and actions of F_n

Asger Törnquist|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 08.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 22인용 수 29

한 줄 요약

이 논문은 표준 보렐 확률 공간 위에서 자유군 $\mathbb{F}_n$ ($2 \leq n \leq \infty$)의 거의 everywhere 자유 작용에 대해 가산기 숫자를 넘는 궤도 비동치 작용이 존재함을 증명한다. 특히 이러한 작용이 적어도 $E_0$개 이상 존재한다. 동역학계, 보렐 감소 가능성, 그리고 Becker-Kechris 정리의 조합을 통해 저자는 이러한 작용에 대한 궤도 동치성이 매끄럽지 않음을 보이며, 실수 값을 갖는 완전한 불변량이 존재하지 않음을 배제한다.

ABSTRACT

In this paper we show that there are "E_0 many" orbit inequivalent free actions of the free groups F_n, $2\leq n\leq\infty$, by measure preserving transformations on a standard Borel probability space. In particular, there are uncountably many such actions.

연구 동기 및 목표

• 표준 보렐 확률 공간 위에서 $2 \leq n \leq \infty$인 $\mathbb{F}_n$에 대해 적어도 $E_0$개 이상의 궤도 비동치 자유 작용이 존재함을 보이는 것.
• 보렐 감소 가능성에 의한 $E_0$-감소 가능성의 증명을 통해 이러한 작용에 대한 궤도 동치성이 매끄럽지 않음을 보이는 것 (즉, 실수로의 분류가 불가능함).
• Gaboriau와 Popa의 연속기 숫자의 궤도 비동치 작용 결과를 강화하여 더 높은 복잡도 하한을 제시하는 것.
• 측도 보존 변환군 위의 동치관계에 대해 Becker-Kechris 정리를 적용하여 $E_0$-감소 가능성 도출하는 것.
• $\mathbb{F}_3$에서 $\mathbb{F}_2$와 $n > 3$인 $\mathbb{F}_n$로의 결과 확장에 대해 전개를 통해 적용하는 것.

제안 방법

• $\mathbb{F}_2$의 특정한 거의 everywhere 자유 작용을 표준 보렐 확률 공간 위에 정의하고, 이 작용에 대해 $G \subseteq L^\infty(X)$가 불변이 되도록 하여 상대적 성질 (T)를 갖는 반직접곱을 구성하는 것.
• $\mathcal{M}_\infty(X)$, 즉 측도 보존 변환군 위에 동치관계 $\mathbf{R}$를 정의하여, $S \mathbf{R} S'$ 라 함은 $S$와 $\mathbb{F}_2$가 생성하는 동치관계가 궤도 동치일 때를 의미하는 것.
• $\mathbf{R}/\mathbf{F}$의 동치류가 가산적임을 증명하여, $\mathbf{R}$가 $\mathcal{M}_\infty(X) \times \mathcal{M}_\infty(X)$에서 미세함을 의미함.
• Becker-Kechris 정리 적용: 만약 동치관계 $E$가 미세하고, 호메오모르피즘에 의한 군 작용에서 조밀한 $G$-궤도를 갖는다면, $E_0 \leq_B E$임을 보이는 것.
• 내부 자명형 군 $\operatorname{Inn}(E_{\mathbb{F}_2})$를 이용하여 $\mathcal{M}_\infty(X)$ 위에 코너지션을 통해 작용시켜, 조밀한 궤도를 확보하고 Becker-Kechris 정리의 조건을 만족시키는 것.
• $\mathbb{F}_3$에서 $\mathbb{F}_2$와 $\mathbb{F}_n$ ($n > 3$)로의 결과 확장을 위해, $Y = X \times \{0,1\}$의 곱공간을 구성하고 플립 변환 $\tau$를 통해 작용을 올리는 방식으로, 궤도 동치성을 유지하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 보렐 확률 공간 위에서 $\mathbb{F}_n$의 가산기 숫자를 넘는 궤도 비동치 자유 작용이 존재하는가?
• RQ2 보렐 감소 가능성에 의한 $E_0$ 하한 복잡도로 이러한 작용의 궤도 동치성의 복잡도를 하한으로 제시할 수 있는가?
• RQ3 자유군 $\mathbb{F}_n$ ($n \geq 2$)의 작용에 대한 궤도 동치성이 매끄럽다(즉, 실수로의 분류가 가능한가)?
• RQ4 $\mathbb{F}_3$에 대한 결과를 위상적 또는 동역학적 구성에 의해 $\mathbb{F}_2$와 $\mathbb{F}_n$ ($n > 3$)로 확장할 수 있는가?
• RQ5 $\mathbb{F}_n$ 작용에 대한 궤도 동치성이 $E_0$보다 엄밀히 더 복잡한가, 아니면 $E_0$-완전한가?

주요 결과

• $2 \leq n \leq \infty$인 $\mathbb{F}_n$에 대해 적어도 $E_0$개 이상의 궤도 비동치 거의 everywhere 자유 작용이 존재하며, 이는 이러한 작용이 가산기 숫자를 넘는다는 의미이다.
• $\mathcal{M}_\infty(X)$ 위에서 정의된 동치관계 $\mathbf{R}$는 $S$와 $\mathbb{F}_2$가 생성하는 동치관계가 궤도 동치일 때 정의되며, 이는 $\mathcal{M}_\infty(X) \times \mathcal{M}_\infty(X)$에서 미세함을 뜻한다.
• Becker-Kechris 정리에 의해 $E_0 \leq_B \mathbf{R}|A$가 성립하며, 여기서 $A$는 $\mathbb{F}_3$의 거의 everywhere 자유 작용을 유도하는 변환들의 집합이므로, 이는 $\mathbb{F}_3$에 대한 주요 결과를 증명한다.
• $\mathbb{F}_2$에 대한 결과는 $\mathbb{F}_3$의 경우를 바탕으로 플립 매핑 $\tau$를 사용한 곱공간 구성으로 유도되며, 궤도 동치성을 유지한다.
• 幾乎 everywhere로 동치관계가 유도된 $\mathbb{F}_n$ ($n \geq 2$)의 측도 보존 자유 작용 간의 등가성은 매끄럽지 않다. 왜냐하면 $E_0 \leq_B \mathbf{F}$ 이며, $\mathbf{F}$는 유도된 동치관계의 등가성임을 보여주기 때문이다.
• 저자는 궤도 동치성이 $E_0$보다 엄밀히 더 복잡할 것이라 추측하지만, 이는 아직 미해결 상태이다.