[논문 리뷰] Orbits of coanalytic Toeplitz operators and weak hypercyclicity

Stanislav Shkarin|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 11.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 21인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자에 대한 약한 초주기성의 새로운 기준을 수립하고, 이를 통해 하드리 스페이스 위의 특정 공분석적 토플리츠 연산자가 그의 기호에 대한 특정 기하학적 및 해석적 조건을 만족할 경우 약한 초주기성을 갖는다는 것을 증명한다. 주요 결과로는, 단위 원과 교차하는 매끄러운 조르당 곡선으로 둘러싸인 도메인 위의 하드리 스페이스에서의 곱셈 연산자가 약한 초주기성을 갖는다는 것과, 그 기호가 특정한 $L^1$-로그 적분 조건을 만족할 경우 공분석적 토플리츠 연산자가 1-약한 초주기성을 갖지 않는다는 것이다.

ABSTRACT

We prove a new criterion of weak hypercyclicity of a bounded linear operator on a Banach space. Applying this criterion, we solve few open questions. Namely, we show that if $G$ is a region of $\C$ bounded by a smooth Jordan curve $Γ$ such that $G$ does not meet the unit ball but $Γ$ intersects the unit circle in a non-trivial arc, then $M^*$ is a weakly hypercyclic operator on $H^2(G)$, where $M$ is the multiplication by the argument operator $Mf(z)=zf(z)$. We also prove that if $g$ is a non-constant function from the Hardy space $H^\infty(\D)$ on the unit disk $\D$ such that $g(\D)\cap\D=\varnothing$ and the set $\{z\in\C:|z|=1,\ |g(z)|=1\}$ is a subset of the unit circle $\T$ of positive Lebesgue measure, then the coanalytic Toeplitz operator $T^*_g$ on the Hardy space $H^2(\D)$ is weakly hypercyclic. On the contrary, if $g(\D)\cap\D=\varnothing$, $|g|>1$ almost everywhere on $\T$ and $\log(|g|-1)\in L^1(\T)$, then $T^*_g$ is not 1-weakly hypercyclic and hence is not weakly hypercyclic (a bounded linear operator $T$ on a complex Banach space $X$ is called $n$-weakly hypercyclic if there is $x\in X$ such that for every surjective continuous linear operator $S:X o \C^n$, the set $\{S(T^mx):m\in\N\}$ is dense in $\C^n$). The last result is based upon lower estimates of the norms of the members of orbits of a coanalytic Toeplitz operator. Finally, we show that there is a 1-weakly hypercyclic operator on a Hilbert space, whose square is non-cyclic and prove that a Banach space operator is weakly hypercyclic if and only if it is $n$-weakly hypercyclic for every $n\in\N$.

연구 동기 및 목표

• 분리 가능한 무한차원 바나흐 공간 위의 유계 선형 연산자에 대한 약한 초주기성의 새로운 기준을 개발하는 것.
• 하드리 스페이스 위의 공분석적 토플리츠 연산자의 약한 초주기성과 관련된 열린 문제를 해결하는 것.
• 특정 도메인 $G$에 대해 $H^2(G)$ 위의 곱셈 연산자가 약한 초주기성을 갖는 조건을 특성화하는 것.
• 하드리 스페이스 $H^2(\mathbb{D})$ 위의 공분석적 토플리츠 연산자 $T_g^*$가 $n$-약한 초주기성 또는 그렇지 않음을 판단하는 조건을 특정하는 것, 특히 기호의 절댓값과 경계 행동과의 관계를 고려하여.
• 약한 초주기성과 $n$-약한 초주기성 간의 관계를 명확히 하고, 특정 순환 성질을 갖는 예를 구성하는 것.

제안 방법

• 연산자 $T$에 대해 $T$-불변인 밀도 부분공간 $F$가 존재하고, 그 위에서 $T|_F$가 등장하는 강한 힐버트 노름을 갖는다. 또한, 이들 조건을 만족하는 역행 궤도가 노름 수렴성을 갖는다는 기반을 바탕으로 약한 초주기성의 새로운 기준을 도입한다.
• 이 기준을 공분석적 토플리츠 연산자에 적용하기 위해, $T_g^*$와의 내적을 통해 정의된 정수 함수를 통해 궤도 노름의 성장을 분석한다.
• 복소해석학 도구를 사용한다: 프라그멘-린델뢰프 원리, 지배 수렴 정리, 단위 원 위의 측도의 성질.
• 머겔리안 정리와 지수 유형을 갖는 정수 함수에 대한 추정을 활용하여, 특정 궤도 노름이 임의의 다항함수보다 더 빠르게 증가함을 보인다.
• $F_f(z) = \langle f, T_g^{*n} f \rangle$를 정수 함수로 간주하고, $f=0$이 아닐 경우 다항함수로 유계가 될 수 없음을 증명한다.
• $H^2(\mathbb{D})$의 구조와 $g$의 스펙트럼 성질을 활용하여, $\log(|g|-1) \in L^1(\mathbb{T})$ 조건이 약한 초주기성을 갖지 않도록 하는 조건을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기호 $g$가 $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$ 이고, $\mathbb{T}$ 상의 양의 측도를 갖는 집합에서 $|g|=1$ 이면, $H^2(\mathbb{D})$ 위의 공분석적 토플리츠 연산자 $T_g^*$는 어떤 조건에서 약한 초주기성을 갖는가?
• RQ2 단위 원과 비자명하게 교차하는 매끄러운 조르당 곡선으로 둘러싸인 도메인 $G$에 대해, $H^2(G)$ 위에서 $z$에 대한 곱셈의 수반 연산자는 어떤 조건에서 약한 초주기성을 갖는가?
• RQ3 유계 선형 연산자가 1-약한 초주기성을 갖는 동시에 그 제곱이 비순환적일 수 있는가?
• RQ4 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 약한 초주기성과 $n$-약한 초주기성이 동치인가?
• RQ5 기호 $g \in \mathbb{E}_1(\mathbb{D})$를 초월하여, $T_g^*$의 비약한 초주기성 결과가 $\mathbb{E}(\mathbb{D})$ 전역으로 확장되는가?

주요 결과

• $G$가 단위 원과 비자명한 호로 교차하는 매끄러운 조르당 곡선 $\Gamma$로 둘러싸여 있고 $G \cap \mathbb{D} = \varnothing$ 이면, $H^2(G)$ 위의 연산자 $M^*$는 약한 초주기성을 갖는다.
• $g \in H^\infty(\mathbb{D})$ 이고 $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$, $\mathbb{T}$ 상의 양의 측도 집합에서 $|g|=1$ 이면, $H^2(\mathbb{D})$ 위의 $T_g^*$는 약한 초주기성을 갖는다.
• $g(\mathbb{D}) \cap \mathbb{D} = \varnothing$, $\mathbb{T}$ 상에서 거의 모든 곳에서 $|g| > 1$ 이고 $\log(|g|-1) \in L^1(\mathbb{T})$ 이면, $T_g^*$는 1-약한 초주기성을 갖지 않으며, 따라서 약한 초주기성도 갖지 않는다.
• 힐버트 공간 위에 1-약한 초주기성을 갖는 연산자가 존재하지만 그 제곱은 비순환적일 수 있다.
• 바나흐 공간 연산자가 약한 초주기성을 갖는 것은 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $n$-약한 초주기성을 갖는 것과 동치이다.
• 비약한 초주기성의 증명은 궤도 노름이 임의의 다항함수보다 더 빠르게 증가함을 보이는 데 기반하며, 이는 실축 상에서 관련 정수 함수가 다항함수로 유계가 아니라는 점을 통해 확립된다.