[논문 리뷰] Order determination in general vector autoregressions

Bent Nielsen|Oxford University Research Archive (ORA) (University of Oxford)|2007. 02. 26.

Spectroscopy and Chemometric Analyses인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 일반 벡터 자기회귀 모형(VARs)에서 지연 차수 결정을 위한 최대우도 검정, 정보기준량, 잔차 기반 검정의 渐近적 타당성을 입증한다. 정적(stationarity) 또는 특성근의 지식이 필요하지 않다. 일반적인 조건 하에서 비정적 및 폭발적 과정을 포함한 차수 추정의 일致성을 증명하며, 고급 마링게일 극한 이론과 자기회귀 모형에서 최소제곱 추정량에 대한 위와 라이의 강한 일치 결과를 확장하여 증명한다.

ABSTRACT

In the application of autoregressive models the order of the model is often estimated using either a sequence of likelihood ratio tests, a likelihood based information criterion, or a residual based test. The properties of such procedures has been discussed extensively under the assumption that the characteristic roots of the autoregression are stationary. While non-stationary situations have also been considered the results in the literature depend on conditions to the characteristic roots. It is here shown that these methods for lag length determination can be used regardless of the assumption to the characteristic roots and also in the presence of deterministic terms. The proofs are based on methods developed by C. Z. Wei in his joint work with T. L. Lai.

연구 동기 및 목표

• 특성근에 대한 정적 가정 없이 일반 벡터 자기회귀 모형에서 지연 차수 결정 방법의 타당성을 확립하는 것.
• 기존의 정보기준량과 최대우도 검정에 대한 일치 결과를 비정적 및 폭발적 과정을 포함한 일반 VAR 모형으로 확장하는 것.
• 잔차 기반 검정이 비정적 설정에서도 최대우도 검정과 渐近적으로 동일한 성질을 가짐을 보여주는 것.
• 특성근의 사전 규명이나 과정의 정적성을 요구하지 않는 통합된 차수 선택 프레임워크를 제공하는 것.
• 위와 라의 강한 일치 결과를 정적 구성요소를 포함한 자기회귀 모형으로 일반화하여 강건한 지연 차수 추정을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 중첩된 모형 간의 로그우도 차이를 기반으로 한 최대우도 검정 통계량을 사용한다.
• f(T)가 근의 위치와 관계없이 일致성을 보장하도록 선택된 Φj = log det ˆΩj + j f(T)/T 형태의 페널티 우도 기준을 적용한다.
• 잔차를 지연된 변수와 회귀자에 대해 보조 회귀분석을 통해 잔차 기반 검정을 시행하며, 최대우도 검정과 渐近적으로 동일한 성질을 보임을 보여준다.
• 고급 마링게일 극한 이론과 자기회귀 모형에서 최소제곱 추정량에 대한 위와 라의 강한 일치 결과를 활용한다.
• 분할된 행렬 역행렬을 통한 대수적 분해를 도입하고, Lai와 위의 결과를 정적 구성요소(상수, 추세 등)를 수용하도록 일반화한다.
• 추정된 오차 공분산 행렬의 트레이스 및 고유값 분석을 통해 추정 차수의 일치성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성근의 지식이나 정적 가정 없이도 최대우도 검정을 통한 지연 차수 결정이 신뢰성 있게 적용될 수 있는가?
• RQ2 페널티 우도 접근법(예: AIC, BIC, HQ)은 비정적 또는 폭발적 과정을 포함한 일반 VAR에서 차수 선택에 대해 일치하는가?
• RQ3 잔차 기반의 잘못된 모형 설정 검정은 일반 VAR 모형에서 최대우도 검정과 渐近적으로 동일한 성질을 가지는가?
• RQ4 자기회귀 모형에서 최소제곱 추정량의 강한 일치성은 정적 구성요소와 비정적 과정을 포함하여 확장될 수 있는가?
• RQ5 페널티 함수 f(T)에 어떤 조건이 성립하면 모든 종류의 특성근에 대해 차수 추정의 일치성이 보장되는가?

주요 결과

• 특성근의 위치와 관계없이 귀무가설 k0 < k 하에서 LR(Ak = 0) 검정 통계량은 渐近적으로 χ² 분포를 따른다. 이는 특성근의 사전 지식 없이도 차수 결정이 가능함을 의미한다.
• f(T) = o(T) 이면서 f(T) → ∞ 일 때, 페널티 우도 추정량 ˆk는 정적, 비정적, 폭발적 과정 전반에 걸쳐 약한 일치성을 보이며, 균일하게 성립한다.
• 잔차 기반 검정 통계량은 비정적 설정에서도 일반 VAR 모형에서 최대우도 검정 통계량과 渐近적으로 동일한 성질을 가진다.
• T(ˆΩj−1 − ˆΩj)의 渐近 전개에서 주요 항은 Q(Yt−1)이며, 조건 (2.1)과 (2.2) 및 λ > 4 하에서 OP(1)이 되어 일치성에 필요한 속도를 확보한다.
• 증명 과정에서 잔차 기반 검정 통계량은 귀무가설 하에서 비퇴화적인 극한으로 수렴하며, 핵심 항 Q(Xt−k, ..., Xt−k−m+1|Xt−1, Dt)는 T(ˆΩk−1 − ˆΩk+m−1)와 渐近적으로 동일하다.
• 정적 구성요소에 대한 다양한 조건 하에서도 차수 추정량의 일致성이 유지되며, 이는 시스템과 정적 구성요소 행렬 간 공통 고유값이 없거나, 오차 과정에 대한 특정 가정 하에서도 성립한다.