[논문 리뷰] Ordered Fields, the Purge of Infinitesimals from Mathematics and the Rigorousness of Infinitesimal Calculus

James F. Hall, Тодор Д. Тодоров|arXiv (Cornell University)|2015. 09. 13.

Mathematical and Theoretical Analysis참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 17세기에서 18세기의 무한소 미적분학의 엄밀성을 재평가하며, 대수학, 해석학, 위상수학, 비표준 해석학 분야에서 유도된 10개의 동치 문장들을 통해 실수의 완비성의 특성을 규명한다. 이는 라이프니츠-Euler 무한소 미적분학이 일관된 비아르키메데스 체 위에 기반한 수학적으로 엄밀한 체계였으며, 라이프니츠 이전 원리가 그 타당성을 뒷받침했다고 주장한다.

ABSTRACT

We present a characterization of the completeness of the field of real numbers in the form of a \emph{collection of several equivalent statements} borrowed from algebra, real analysis, general topology, and non-standard analysis. We also discuss the completeness of non-Archimedean fields and present several examples of such fields. As an application, we exploit the characterization of the reals to argue that the Leibniz-Euler infinitesimal calculus in the $17^ extrm{th}$-$18^ extrm{th}$ centuries was already a rigorous branch of mathematics -- at least much more rigorous than most contemporary mathematicians prefer to believe. By advocating our particular historical point of view, we hope to provoke a discussion on the importance of mathematical rigor in mathematics and science in general. This article is directed to all mathematicians and scientists who are interested in the foundations of mathematics and the history of infinitesimal calculus.

연구 동기 및 목표

• 다양한 수학 분야에서 유도된 동치 문장들을 사용하여 실수의 완비성에 대한 종합적인 특성을 제공한다.
• 아르키메데스 성질이 있는 순서체와 비아르키메데스 성질이 있는 순서체의 차이를 명확히 하며, 특히 무한소의 맥락에서 이를 다룬다.
• 라이프니츠-오일러 무한소 미적분학이 비표준 체계 위에 엄밀하게 기반되어 있었으며, 일반적으로 그 형식적 엄밀성이 결여되어 있다는 공통된 믿음에 대비하여 이를 주장한다.
• 표준 체계에서 비표준 체계로 확장할 때 논리적 일관성을 유지하는 데 핵심적인 도구로 라이프니츠 이전 원리를 제시한다.
• 특히 무한소의 역할을 고려할 때 역사적이고 기초적인 맥락에서 수학적 엄밀성의 재평가를 주장한다.

제안 방법

• 대수학, 실해석학, 일반위상수학, 비표준 해석학 분야에서 유도된 10개의 동치 문장을 활용하여 아르키메데스 순서체의 완비성을 특성화한다 (정리 4.1).
• 라이프니츠 이전 원리를 사용하여 비표준 확장 *ℝ를 통해 무한소를 정의함으로써, 표준 항등식과 함수가 하이퍼실수 영역으로 일관되게 확장됨을 보장한다.
• 이전 원리를 사용하여 대수적 및 초월적 항등식(예: (x+y)³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³)이 ℝ에서 성립할 경우 *ℝ에서도 성립함을 보여준다.
• 하인 시리즈와 멱급수 체와 같은 비아르키메데스 체의 예를 제시하여, 무한소를 포함하는 순서체의 존재성과 구조를 설명한다.
• 이전 원리를 적용하여 무한소 증분을 통해 도함수를 유도한다. 예를 들어, (x+dx)³ − x³ / dx ≈ 3x² 를 통해 (x³)′ = 3x² 를 유도한다.
• 역적분 정의(예: sin⁻¹y = ∫₀ʸ dy/√(1−y²))를 통해 삼각함수와 지수함수의 역사적 기초를 재구성하고, 주기성과 이전 원리를 통해 *ℝ로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 현대의 완비성과 일관성 기준을 고려할 때, 17세기에서 18세기의 무한소 미적분학은 어느 정도 수학적으로 엄밀한가?
• RQ2 실수의 10개의 동치 완비성 조건이 대수학, 해석학, 위상수학, 비표준 해석학의 개념을 어떻게 통합하는가?
• RQ3 라이프니츠 이전 원리를 사용하여 에프실론-델타 방법에 의존하지 않고도 무한소 추론의 형식적 일관성을 공식적으로 정당화할 수 있는가?
• RQ4 비아르키메데스 순서체는 무한소를 모델링하는 데 어떤 역할을 하는가? 실수와의 구조적 차이는 무엇인가?
• RQ5 현대 해석학의 발전 이전에, sin x와 e^x와 같은 초등함수는 어떻게 엄밀하게 정의되었는가?

주요 결과

• 실수의 완비성은 대수학, 해석학, 위상수학, 비표준 해석학 분야에서 유도된 10개의 동치 문장으로 특성화되며, 이는 실수의 통합적 기초를 제공한다.
• 라이프니츠 이전 원리는 표준 실수 ℝ의 모든 일阶 성질이 그 비표준 확장 *ℝ로 확장됨을 보장하며, 항등식과 함수적 행동을 유지한다.
• x³의 도함수는 무한소 증분 dx를 사용하여 엄밀하게 3x²로 도출되며, 차분 몫이 3x² + 3x dx + dx² ≈ 3x² 로 단순화되어 dx의 무한소 성질에 기반한다.
• 삼각함수는 역적분 정의(예: sin⁻¹y = ∫₀ʸ dy/√(1−y²))를 통해 정의되었고, 주기성과 이전 원리를 통해 *ℝ로 확장되어, 리만 이전 시대의 높은 수준의 엄밀성을 나타낸다.
• 하인 시리즈와 멱급수 체와 같은 비아르키메데스 체는 무한소를 포함하는 순서체의 구체적 예를 제공하며, 이러한 구조가 수학적으로 일관되고 잘 정의되어 있음을 보여준다.
• 역사적 무한소 미적분학, 특히 라이프니츠와 오일러에 의해 발전된 바는 일반적으로 상상하는 것보다 더 엄밀하였으며, 이는 이전 원리에 기반한 논리적으로 일관된 비표준 체계 내에서 운영되었기 때문이다.