[논문 리뷰] Ordered Line and Skew-Fields in the Desargues Affine Plane

Orgest Zaka, James F. Peters|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 08.

Mathematics and Applications참고 문헌 13인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 좌표를 사용하지 않고, 평행 투영과 사이에 있는 관계를 기반으로 한 기하적 작도를 통해 디사르그 아핀 평면 내의 순서가 부여된 직선에서 순서가 부여된 비환을 구성한다. 주요 기여는 이러한 순서가 부여된 직선 위에 구성된 임의의 비환이 순서가 부여된 비환이며, 유한한 경우 ℝ²에서 이는 유한한 순서가 부여된 비환이며, 이는 추가로 파푸스 성질을 만족함을 의미한다.

ABSTRACT

This paper introduces ordered skew fields that result from the construction of a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane. A special case of a finite ordered skew field in the construction of a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane in Euclidean space, is also considered. Two main results are given in this paper: (1) every skew field constructed over a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane is an ordered skew field and (2) every finite skew field constructed over a skew field over an ordered line in a Desargues affine plane in $\mathbb{R}^2$ is a finite ordered skew field.

연구 동기 및 목표

• 디사르그 아핀 평면 내의 순서가 부여된 직선에서 좌표를 사용하지 않고 비환을 구성하는 좌표 불용 방법을 수립하기 위해.
• 좌표를 사용하지 않고 힐베르트의 점 순서 개념에 기반한 사이에 있는 관계를 통해 디사르그 아핀 평면 내에서 순서가 부여된 직선을 기하학적으로 정의하기 위해.
• 그러한 순서가 부여된 직선 위에 구성된 비환이 순서가 부여된 비환이라는 것을 증명하기 위해.
• ℝ² 내에서 유한한 비환의 특수한 경우를 검토하고, 이것이 유한한 순서가 부여된 비환이라는 것을 보여주기 위해.
• 이 구성에서 유한한 순서가 부여된 비환이 파푸스 정리를 만족함(즉, 파푸스 성질을 가짐)을 보여주기 위해.

제안 방법

• 힐베르트의 사이에 있는 관계 공리와 플레이퍼이 평행선 공리(postulate)를 사용하여 디사르그 아핀 평면 내 기하학적 구조를 정의한다.
• 힐베르트의 점 순서 개념에 기반한 사이에 있는 관계를 통해 좌표 없이 순서가 부여된 직선을 정의한다.
• 평행 투영을 활용하여 직선 위에 덧셈과 곱셈의 체계를 구성한다.
• 평행 투영이 순서를 유지함을 적용하여 결과 비환이 갖는 순서 공리를 검증한다.
• 승과 순서 유지 검증을 위해 점 O, I, A, B, C, E, I를 포함한 기하학적 작도를 사용한다.
• 디사르그와 파푸스 공리를 활용하여 대수적 구조가 비환이며, 유한한 경우에 필드임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 디사르그 아핀 평면 내의 순서가 부여된 직선에서 좌표를 사용하지 않고 기하학적으로 순서가 부여된 비환을 구성할 수 있는가?
• RQ2 디사르그 아핀 평면 내의 순서가 부여된 직선 위에 기하학적으로 비환을 구성할 경우, 그 결과로 얻어진 비환이 순서가 부여된 비환이 되는가?
• RQ3 ℝ² 내에서 디사르그 아핀 평면 내의 순서가 부여된 직선 위에 구성된 모든 유한한 비환이 유한한 순서가 부여된 비환이 되는가?
• RQ4 ℝ² 내에서 이러한 구성에 의해 얻어진 유한한 순서가 부여된 비환이 파푸스 정리를 만족하는가(즉, 파푸스 성질을 가짐이 증명되는가)?
• RQ5 직선 위의 순서가 기하학적 연산을 통해 전체 비환에 대해 일관된 순서를 유도하는 방식은 무엇인가?

주요 결과

• 디사르그 아핀 평면 내의 순서가 부여된 직선 위에 구성된 모든 비환은 순서가 부여된 비환이며, 이는 순서를 유지하는 평행 투영을 통해 증명된다.
• 유한한 경우, ℝ² 내의 디사르그 아핀 평면 내의 순서가 부여된 직선 위에 구성된 모든 비환은 유한한 순서가 부여된 비환이다.
• ℝ² 내에서 구성된 유한한 순서가 부여된 비환은 파푸스 정리를 만족하므로 파푸스 성질을 가진다.
• 직선 위의 순서는 평행 투영을 통한 기하학적 곱셈에 의해 유지되며, 이는 곱셈 구조가 순서를 존중함을 보장한다.
• 이 구성은 순수하게 기하학적이며 좌표 불용이며, 오직 일치, 평행성, 사이에 있는 관계에 의존한다.
• 이 결과는 아르틴과 리플만의 작업을 일반화하며, 기하학적 평면에서 유도된 비환의 순서에 대한 직접적이고 구성적인 증명을 제공한다.