[논문 리뷰] Orderly generation of Butson Hadamard matrices

Pekka H.J. Lampio, Patric R. J. Östergård외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 07.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 14인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 순서 있는 생성(ordered generation) 기법을 사용하여 작은 $n$ 및 $q$에 대해 Butson 유형의 복소 Hadamard 행렬 $ olimits\mathrm{BH}(n,q)$의 컴퓨터 지원 분류를 제시한다. 이 기법은 동치를 제거한 완전한 열거를 보장한다. 주요 결과로는 단위 행렬 동치 기준으로 정확히 72개의 $ olimits\mathrm{BH}(21,3)$, 1,786,763개의 $ olimits\mathrm{BH}(16,4)$, 그리고 167,776개의 $ olimits\mathrm{BH}(14,6)$ 행렬이 열거되었으며, 처음으로 $ olimits\mathrm{BH}(14,10)$ 행렬이 구성되었고, $ olimits\mathrm{BH}(8,15)$, $ olimits\mathrm{BH}(11,q)$ ($q \in \{10,12,14,15\}$), 그리고 $ olimits\mathrm{BH}(13,10)$ 행렬의 존재하지 않음을 증명하였다.

ABSTRACT

In this paper Butson-type complex Hadamard matrices $\mathrm{BH}(n,q)$ of order $n$ and complexity $q$ are classified for small parameters by computer-aided methods. Our main results include the enumeration of $\mathrm{BH}(21,3)$, $\mathrm{BH}(16,4)$, and $\mathrm{BH}(14,6)$ matrices. There are exactly $72$, 1786763, and $167776$ such matrices, up to monomial equivalence. Additionally, we show an example of a $\mathrm{BH}(14,10)$ matrix for the first time, and show the nonexistence of $\mathrm{BH}(8,15)$, $\mathrm{BH}(11,q)$ for $q\in\{10,12,14,15\}$, and $\mathrm{BH}(13,10)$ matrices.

연구 동기 및 목표

• 소규모 순서 $n$과 복잡도 $q$에 대해 컴퓨터 기반 방법을 사용하여 Butson 유형의 복소 Hadamard 행렬 $\mathrm{BH}(n,q)$를 분류하는 것.
• $n \leq 10$, $q \leq 14$ 범위를 초월하여 $\mathrm{BH}(n,q)$ 행렬의 존재 및 존재하지 않음을 다룬 이전 연구를 확장하는 것.
• 첫 번째로 명시적인 $ olimits\mathrm{BH}(14,10)$ 행렬을 구성하고, 이전에 열려 있던 몇 가지 케이스에 대해 존재하지 않음을 증명하는 것.
• 정리 4.6를 통해 실수적이지 않은 $ olimits\mathrm{BH}(n,6)$ 및 $ olimits\mathrm{BH}(2n,4)$ 행렬 간의 구조적 연결을 설정하는 것.
• 생성된 행렬을 향후 연구를 위해 공개 전자 보조 자료로 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 단위 행렬 동치 기준으로 Butson 행렬을 동치 없이 완전히 열거하기 위해 순서 있는 생성 기법을 사용한다. 이 기법은 표준화된 레이블링 기법을 활용한다.
• 행렬은 로그 형태 $L(H) \in \mathbb{Z}_q^{n \times n}$로 표현되며, 각 항목은 $q$제근의 단위근의 지수에 해당한다.
• 탐색 공간을 줄이기 위해 첫 번째 열을 고정하고 행을 사전순으로 정렬함으로써 두 번째 열을 활용한 가지치기 전략을 적용한다.
• 비존재성 증명 과정에서 검색 트리를 가지치기하기 위해 클리커(Cliquer)라는 그래프 색칠 및 클리크 탐색 라이브러리가 사용되며, 완전한 수직 행렬 확장 여부를 검사한다.
• 중복을 줄이고 표준 표현을 보장하기 위해 모든 행렬은 탈위상화(dephased) 처리되며, 첫 번째 행과 열이 모두 0으로 설정된다.
• 비존재성 결과는 클리커를 사용하거나 사용하지 않은 두 가지 방법으로 검증되어 재현 가능성을 확보하고 외부 라이브러리 의존도를 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 행렬 동치 기준으로 $ olimits\mathrm{BH}(21,3)$ 행렬은 총 몇 개인가?
• RQ2 단위 행렬 동치 기준으로 $ olimits\mathrm{BH}(16,4)$ 행렬은 총 몇 개인가?
• RQ3 $ olimits\mathrm{BH}(14,10)$ 행렬이 존재하는가? 존재한다면 구성할 수 있는가?
• RQ4 $q \in \{10,12,14,15\}$ 일 때 $ olimits\mathrm{BH}(11,q)$ 행렬이 존재하는가? 존재 여부는 어떻게 되는가?
• RQ5 $ olimits\mathrm{BH}(13,10)$ 행렬은 구성할 수 있는가, 아니면 그 비존재성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 단위 행렬 동치 기준으로 정확히 72개의 $ olimits\mathrm{BH}(21,3)$ 행렬이 존재한다.
• 단위 행렬 동치 기준으로 $ olimits\mathrm{BH}(16,4)$ 행렬의 수는 1,786,763개이다.
• 단위 행렬 동치 기준으로 정확히 167,776개의 $ olimits\mathrm{BH}(14,6)$ 행렬이 존재한다.
• 처음으로 $ olimits\mathrm{BH}(14,10)$ 행렬이 구성되었다.
• 논문은 $ olimits\mathrm{BH}(8,15)$ 행렬의 존재하지 않음을 증명하였다.
• 또한 $q \in \{10,12,14,15\}$ 일 때 $ olimits\mathrm{BH}(11,q)$ 행렬의 비존재성과 $ olimits\mathrm{BH}(13,10)$ 행렬의 비존재성을 동시에 입증하였다.