[논문 리뷰] Ordinal Approximation for Social Choice, Matching, and Facility Location Problems given Candidate Positions

Elliot Anshelevich, Wennan Zhu|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 08.

Game Theory and Voting Systems참고 문헌 17인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 메트릭 공간 내에 정확히 알려진 시설 위치를 활용하여, 기존의 시설 위치 정보를 바탕으로 단일 시설 선택 문제에서 총 사회비용 및 중앙값 사회비용에 대해 최대 3의 왜곡을 달성하는 새로운 순서 기반 근사 알고리즘을 제안한다. 또한, 완전지식 기반 알고리즘을 순서 기반 알고리즘으로 변환하는 블랙박스 감소 기법을 제공하며, 이 경우 왜곡은 최대 1+2β 이하가 된다.

ABSTRACT

In this work we consider general facility location and social choice problems, in which sets of agents $\mathcal{A}$ and facilities $\mathcal{F}$ are located in a metric space, and our goal is to assign agents to facilities (as well as choose which facilities to open) in order to optimize the social cost. We form new algorithms to do this in the presence of only {\em ordinal information}, i.e., when the true costs or distances from the agents to the facilities are {\em unknown}, and only the ordinal preferences of the agents for the facilities are available. The main difference between our work and previous work in this area is that while we assume that only ordinal information about agent preferences in known, we know the exact locations of the possible facilities $\mathcal{F}$. Due to this extra information about the facilities, we are able to form powerful algorithms which have small {\em distortion}, i.e., perform almost as well as omniscient algorithms but use only ordinal information about agent preferences. For example, we present natural social choice mechanisms for choosing a single facility to open with distortion of at most 3 for minimizing both the total and the median social cost; this factor is provably the best possible. We analyze many general problems including matching, $k$-center, and $k$-median, and present black-box reductions from omniscient approximation algorithms with approximation factor $β$ to ordinal algorithms with approximation factor $1+2β$; doing this gives new ordinal algorithms for many important problems, and establishes a toolkit for analyzing such problems in the future.

연구 동기 및 목표

• 에이전트의 순서 선호 정보만이 알려져 있지만 시설 위치가 정확히 알려진 상황에서 시설 위치 및 사회선택 문제에 대한 근사 알고리즘을 설계하기 위해.
• 이러한 부분 정보 환경 하에서 사회비용(예: 거리의 합 또는 중앙값)을 최소화하기 위해.
• 에이전트의 순서 선호 정보와 완전한 시설 위치 데이터만을 사용하여, 알고리즘 비용과 최적 비용 간의 최악 경우 비율인 왜곡에 대해 날카로운 상한을 확립하기 위해.
• 모든 완전지식 기반 β-근사 알고리즘을 순서 기반 알고리즘으로 변환할 수 있는 블랙박스 프레임워크를 개발하기 위해.
• 특히 에이전트의 카디널 비용이 관측 불가능한 상황에서, 시설 위치 지식이 왜곡을 줄이는 데 얼마나 강력한지 탐색하기 위해.

제안 방법

• 메트릭 공간 내 정확한 시설 위치를 활용하여, 에이전트의 선호는 순서로 정렬되지만 거리는 알려져 있지 않은 프로젝션 문제를 구성하기 위해.
• 에이전트 입력이 최소한(각 에이전트의 최상위 선택지만)일지라도 최대 3의 왜곡을 달성하기 위해 프로젝션 문제의 브루트포스 해법을 사용하기 위해.
• 사회선택을 위한 투표 규칙을 설계하여, 총 사회비용 및 중앙값 사회비용 모두에서 왜곡 ≤3을 달성하기 위해.
• 블랙박스 감소 기법 개발: 주어진 임의의 완전지식 기반 β-근사 알고리즘을 바탕으로, 거리 비용에 대해 최대 1+2β의 왜곡, 시설 비용에 대해 최대 β의 왜곡을 가지는 순서 기반 알고리즘을 구성하기 위해.
• 기본적인 문제들에 프레임워크를 적용하기 위해: 최소비용 매칭, 균등 매칭, k-센터, k-중심, 시설 위치 문제를 다루며, 알려진 근사 알고리즘을 오라클로 사용하기 위해.
• 하한을 통해 왜곡 상한의 날카로움을 증명하기 위해, 특히 매칭 문제에서 결정론적 메커니즘의 경우 3의 왜곡 하한을 도출하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에이전트의 순서 선호 정보만이 알려져 있지만 시설 위치가 정확히 알려진 상황에서, 시설 위치 및 사회선택 문제에서 작은 왜곡을 달성할 수 있는가?
• RQ2 에이전트의 순서 선호와 정확한 시설 위치가 주어졌을 때, 단일 시설 선택 문제에서 총 사회비용 및 중앙값 사회비용을 최소화하기 위해 달성 가능한 최선의 왜곡은 무엇인가?
• RQ3 완전지식 기반 β-근사 알고리즘을 체계적으로 순서 기반 알고리즘으로 변환할 수 있으며, 이 경우 왜곡 인자는 β에 대해 어떻게 표현되는가?
• RQ4 에이전트의 순서 선호 정보와 정확한 시설 위치만을 알고 있을 때, 매칭 문제에서 중앙값 간선 비용을 최소화하는 데 낮은 왜곡을 달성할 수 있는가?
• RQ5 순서 기반 근사에서 낮은 왜곡을 달성하기 위해 시설 위치에 대한 정보의 최소한도는 얼마인가?

주요 결과

• 사회선택을 위한 결정론적 메커니즘은 총 사회비용 및 중앙값 사회비용 모두에서 최대 3의 왜곡을 달성하며, 이 상한은 날카로운 것이다.
• 최소비용 및 균등 이분 매칭 문제에 대해, 최상위 선택지 선호 정보와 정확한 시설 위치만을 사용하는 다항시간 알고리즘이 최대 3의 왜곡을 달성한다.
• 시설 위치 문제에 대해, 다항시간 알고리즘이 최대 3.976의 왜곡을 달성한다. 이는 시설 비용에 대해 1.488-근사와 거리 비용에 대해 3.976-근사를 조합한 결과이다.
• k-센터 문제에 대해, 다항시간 알고리즘이 최대 5의 왜곡을 달성한다. 이는 프로젝션 문제에 대해 2-근사를 사용한 결과이다.
• k-중심 문제에 대해, 다항시간 알고리즘이 최대 6.35의 왜곡을 달성한다. 이는 완전지식 기반의 경우 2.675-근사를 기반으로 한 결과이다.
• 하한을 통해, 에이전트의 순서 선호 정보와 시설 위치만을 알고 있을 때, 최소비용 매칭 문제에서 어떤 결정론적 메커니즘도 3보다 나은 왜곡을 달성할 수 없음을 보였다.