[논문 리뷰] Origamis with non congruence Veech groups

Gabriela Schmithuesen|ArXiv.org|2007. 04. 03.

Advanced Materials and Mechanics참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 모든 종수 $ g \geq 2 $ 에 대해, $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 의 비합동 부분군인 Veech 군을 가진 옵리아미(정사각형 타일 표면)가 존재함을 증명한다. 저자들은 자유군 $ F_2 $ 의 자기동형사상군을 통한 옵리아미 Veech 군의 군론적 특성화를 사용하고, 비합동 Veech 군을 가진 두 예제를 명시적으로 계산하며, 이를 바탕으로 무한한 가족을 구성하여, 각각의 모듈리 공간 $ M_g $ 에서 비합동 Veech 군으로부터 유도되는 테이히뮐러 곡선의 존재를 확립한다.

ABSTRACT

As main result we show that for each g > 1 there is some translation surface of genus g whose Veech group is a non congruence subgroup of SL(2,Z). We use origamis/square-tiled surfaces to produce our examples. The article is divided into two parts: In the first part we introduce translation surfaces, origamis, Veech groups and Teichmueller curves and show for two origamis in genus 2 that their Veech groups are non congruence groups; in the second part we provide a technique that produces sequences of origamis whose Veech groups are decreasing. This is used to prove the main result.

연구 동기 및 목표

• 모든 종수 $ g \geq 2 $ 에 대해 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 의 비합동 부분군인 Veech 군을 가진 옵리아미의 존재를 확립하는 것.
• 자유군 $ F_2 $ 의 자기동형사상군을 이용한 옵리아미 Veech 군의 군론적 특성화를 제공하는 것.
• 비합동 Veech 군을 가진 옵리아미의 명시적 예제를 구성하고, 이를 바탕으로 무한한 가족을 생성하는 것.
• 비합동 Veech 군이 모듈리 공간 $ M_g $ 에서 테이히뮐러 곡선을 유도함을 보여주는 것. 이 곡선들은 합동 부분군과 관련이 없다.

제안 방법

• 옵리아미 Veech 군을 자유군 $ F_2 $ 의 유한지수부분군의 안정자에 대한 호모모르피즘 $ \hat{\beta}: \mathrm{Aut}^+(F_2) \to \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 의 상으로 특성화하는 것.
• $ \mathrm{Aut}^+(F_2) $ 가 $ F_2 $ 에 작용하는 방식을 이용하여 $ H_n \subset F_2 $ 라는 부분군을 정의하고, 이를 $ n $ 모듈로의 합동 조건과 연결하는 것.
• 자기동형사상군 접근법을 사용하여 두 옵리아미 $ L(2,3) $ 과 $ D $ 의 Veech 군을 명시적으로 계산하는 것.
• 옵리아미 $ L(2,3) $ 의 Veech 군이 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} $ 를 포함하고, $ D $ 의 Veech 군이 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix} $ 를 포함함을 보여, 합동부분군 성질을 통해 비합동임을 추론하는 것.
• 초기 예제들로부터 무한한 옵리아미 수열 $ O_n $ 을 구성하고, 포함 체인과 합동 수준 조건을 통해 그들의 Veech 군이 여전히 비합동임을 증명하는 것.
• $ \Gamma(H_0) = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Gamma(H_n) $ 이고, $ \Gamma(H_n) $ 이 $ 3n \mid s $ 일 때에만 원소를 포함함을 이용하여 비합동임을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 종수 $ g \geq 2 $ 에 대해 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 의 비합동 부분군인 Veech 군을 가진 옵리아미가 존재하는가?
• RQ2 자유군 $ F_2 $ 의 자기동형사상군을 통해 옵리아미의 Veech 군을 특성화할 수 있는가?
• RQ3 Veech 군이 비합동 부분군인 옵리아미의 명시적 예제가 존재하는가?
• RQ4 한 예제에서부터 이러한 옵리아미의 무한한 가족을 구성할 수 있는가?
• RQ5 이 맥락에서 합동부분군 성질이 합동과 비합동 Veech 군을 구분하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 모든 종수 $ g \geq 2 $ 에 대해 모듈리 공간 $ M_g $ 가 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 의 비합동 부분군인 Veech 군을 가진 옵리아미 곡선을 포함함을 증명한다.
• 옵리아미 $ L(2,3) $ 의 Veech 군은 행렬 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 2 & 1\end{pmatrix} $ 를 포함하고, $ D $ 의 Veech 군은 $ \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 3 & 1\end{pmatrix} $ 를 포함하며, 각각 수준이 2 또는 3인 합동부분군에 속하지 않는다.
• 초기 부분군 $ H_0 $ 의 Veech 군 $ \Gamma(H_0) $ 는 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 에 대해 무한차수임이 증명되었으며, 이는 비합동 부분군의 핵심 성질이다.
• $ L(2,3) $ 에서 유도된 옵리아미 수열 $ O_n $ 에서, 행렬 $ \begin{pmatrix}1 & s \\ 0 & 1\end{pmatrix} $ 이 $ \Gamma(O_n) $ 에 속하는 것은 $ 3n \mid s $ 일 때에만 성립하며, 이는 비합동임을 암시한다.
• 이 구성은 각 $ \Gamma(O_n) $ 이 $ \Gamma(O) $ 에 포함되지만, 수준이 $ 3n $ 인 합동부분군에 포함되지 않는다는 점을 통해 비합동 Veech 군을 가진 옵리아미의 무한한 가족을 제공한다.
• $ \Gamma(H_0) = \bigcap_{n \in \mathbb{N}} \Gamma(H_n) $ 는 자명하지 않고 무한차수이므로, $ \Gamma(H_0) $ 가 합동부분군이 아니라는 것이 확인된다.