[논문 리뷰] Origin and Implications of $A^2$-like Contribution in the Quantization of Circuit-QED Systems

Mohammad Moein Malekakhlagh, Hakan E. Türeci|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 09.

Semiconductor Lasers and Optical Devices인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초전도 큐비트인 트랜스몬 큐비트가 다중모드 전송선 고리형 공진기와 결합된 경우의 양자 해밀토니안을 엄밀하게 유도하며, 이 과정에서 $A^2$-유사 항의 기원이 큐비트에 의해 유도된 고리형 공진기 고유모드의 물리적 수정에 기인함을 규명한다. 저자들은 이 항이 전류 보존 조건에서 기인하며, 고유진동수와 결합 강도에 측정 가능한 변화를 초래함을 보이며, 이는 초강력 결합 영역과 회로-QED 시스템에서의 수퍼라디언트 상전이에 대한 영향을 미친다.

ABSTRACT

By placing an atom into a cavity, the electromagnetic mode structure of the cavity is modified. In Cavity QED, one manifestation of this phenomenon is the appearance of a gauge-dependent diamagnetic term, known as the $A^2$ contribution. Although in atomic Cavity QED, the resulting modification in the eigenmodes is negligible, in recent superconducting circuit realizations, such corrections can be observable and may have qualitative implications. We revisit the canonical quantization procedure of a circuit QED system consisting of a single superconducting transmon qubit coupled to a multimode superconducting microwave resonator. A complete derivation of the quantum Hamiltonian of an open circuit QED system consisting of a transmon qubit coupled to a leaky transmission line cavity is presented. We introduce a complete set of modes that properly conserves the current in the entire structure and present a sum rule for the dipole transition matrix elements of a multi-level transmon qubit coupled to a multi-mode cavity. Finally, an effective multi-mode Rabi model is derived with coefficients that are given in terms of circuit parameters.

연구 동기 및 목표

• 트랜스몬 큐비트가 다중모드 초전도 공진기와 결합된 경우, 큐비트에 의한 모드 왜곡을 고려한 양자 해밀토니안을 엄밀하게 유도하는 것.
• 회로-QED에서의 $A^2$-유사 항의 물리적 기원을 밝히며, 전류 보존과 모드 재규격화와의 연관성을 통해 게이지 아티팩트와 구별하는 것.
• 외부 웨이브가이드에 연결된 개방형, 누출이 있는 공진기를 고려한 양자화 절차를 일반화하여 소실을 현실적으로 모델링하는 것.
• 회로 파rameter에 의해 완전히 결정되는 커플링 계수를 갖는 효과적 다중모드 라비 해밀토니안을 유도하는 것, 이에 $A^2$-유사 수정항이 포함됨.
• 현대 cQED 플랫폼에서 $A^2$-유사 효과가 관측 가능한지 평가하는 것, 특히 초강력 결합 및 장거리 웨이브가이드 시스템에서의 관측 가능성

제안 방법

• 큐비트 위치에서 국소적 커패시턴스 변화를 포함한 트랜스몬 큐비트가 전송선 공진기와 결합된 경우의 고전 해밀토니안을 유도한다.
• 큐비트 위치에서 전류 보존 조건을 만족하는 완전한 고유모드 세트를 도입하여, 고유진동수 변화를 초래하는 수정된 모드 구조를 도출한다.
• 큐비트의 커패시티브 결합을 포함한 경계 조건을 사용하여 수정된 공진기 모드의 고유값 문제를 해결하며, 고유진동수에 대한 초월방정식을 유도한다.
• 수정된 모드에 대해 정규직교 조건과 정규화 조건을 수립하며, 큐비트 위치에서의 비국소항을 포함한다.
• 벡터 포텐셜와 쌍대 운동량을 새로운 고유모드로 전개함으로써 캐논ical 양자화를 수행하며, 정확한 교환관계를 보장한다.
• 큐비트 행렬 요소, 모드 함수, 회로 파rameter로 표현된 커플링 강도 $g_{mnl}$을 포함한 효과적 다중모드 라비 해밀토니안을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 회로-QED에서의 $A^2$-유사 항의 물리적 기원은 무엇이며, 왜 이는 단순한 게이지 아티팩트가 아니며 관측 가능한가?
• RQ2 트랜스몬 큐비트의 존재가 초전도 전송선 공진기의 고유모드와 고유진동수에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 현대 cQED 시스템에서 $A^2$-유사 수정항은 어느 정도 관측 가능하며, 특히 초강력 결합 또는 장거리 공진기 영역에서의 관측 가능성은 어떻게 되는가?
• RQ4 외부 웨이브가이드 결합을 고려한 개방형, 누출이 있는 공진기로 양자화 절차를 어떻게 일관되게 확장할 수 있는가?
• RQ5 이러한 수정항이 양자정보 응용 분야에서 사용되는 다중모드 라비 모델의 효과적 결합 강도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• $A^2$-유사 항은 큐비트에 의한 공진기의 전류 분포와 고유모드 구조의 국소적 수정에서 기인하며, 게이지 선택과는 무관하여 물리적으로 관측 가능한 항이다.
• 수정된 공진기의 고유모드는 조각별 사인함수 형태이며, 큐비트 위치에서 도함수의 불연속성이 존재하며, $x_0$에서 델타-함수 유사항을 포함한 수정된 직교 조건을 만족한다.
• 고유진동수 방정식은 $\chi_c \propto \alpha^2 a_0 L / S$ 라는 매개변수를 포함하며, 이는 $S/L \sim \alpha^2 a_0$ 조건을 만족할 경우에만 모드 이완이 현저하게 나타남을 보여주며, 이 조건은 초소형 고임피던스 회로에서 실현 가능하다.
• 수정된 공진기 해밀토니안은 새로운 모드 기저에서 대각형이 되며, 고유진동수는 $k_n L$과 큐비트의 결합 강도를 포함한 초월방정식으로 결정된다.
• 라비 모델에서의 효과적 결합 강도 $g_{mnl}$은 큐비트 위치에서의 수정된 모드 진폭 $\tilde{A}_l(x_0)$에 명시적으로 의존하며, 이는 $A^2$-유사 수정항을 포함한다.
• 유도 과정은 전류 보존을 위반하지 않으면서도 $A^2$-유사 효과를 해밀토니안에 일관되게 통합할 수 있음을 보이며, 높은 정확도로 현실적인 cQED 시스템을 모델링할 수 있는 기초를 제공한다.