[논문 리뷰] Origin of the literature discrepancies in the fractional reduction of the apex-field enhancement factor considering small clusters of field emitters

Thiago A. de Assis, Fernando F. Dall’Agnol|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 02.

Graphene research and applications참고 문헌 44인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 유한한 시뮬레이션 도메인 크기로 인해 발생하는 소수의 수치 오차(0.2–0.5%)가, 뾰족한 필드 강화 인자(FEF) 계산에서 발생하는 인위적인 지수 감쇠를 유도함으로써, 분야 발사 문헌에서 오랫동안 지속된 모순을 해결한다. 저자들은 도메인 크기가 무한해지는 극한에서 δ(분수적 FEF 감소율)가 c⁻³에 비례하는 보편적인 거듭제곱 법칙 감쇠를 따르며, 이는 전하 둔탁 효과의 특징임을 보여주고, 큰 간격에서의 발사체 군집 및 배열에 대해 정확한 모델로 작용하는 일파rameter 거듭제곱 법칙 피팅(γ_CB = γ₁[1 − K(c/h)⁻³])을 제안한다.

ABSTRACT

Numerical simulations are important when assessing the many characteristics of field emission related phenomena. In small simulation domains, the electrostatic effect from the boundaries is known to influence the calculated apex field enhancement factor (FEF) of the emitter, but no established dependence has been reported at present. In this work, we report the dependence of the lateral size, $L$, and the height, $H$, of the simulation domain on the apex-FEF of a single conducting ellipsoidal emitter. Firstly, we analyze the error, $\varepsilon$, in the calculation of the apex-FEF as a function of $H$ and $L$. Importantly, our results show that the effects of $H$ and $L$ on $\varepsilon$ are scale invariant, allowing one to predict $\varepsilon$ for ratios $L/h$ and $H/h$, where $h$ is the height of the emitter. Next, we analyze the fractional change of the apex-FEF, $δ$, from a single emitter, $γ_1$, and a pair, $γ_2$. We show that small relative errors in $γ_1$ (i.e., $\varepsilon\approx0.5\%$), due to the finite domain size, are sufficient to alter the functional dependence $δ(c)$, where $c$ is the distance from the emitters in the pair. We show that $δ(c)$ obeys a recently proposed power law decay in the limit of infinite domain size ($\varepsilon=0$, say), in contrast to a long time established exponential decay. Thus, power law functional dependence, $-δ\sim c^{-n}$, with $n=3$, is suggested to be a universal signature of the charge-blunting effect, at sufficient large distances between similar emitters with any shape. These results explain the origin of the discrepancies in the literature and improves the scientific understanding of the field electron emission theory, for accurate characterization of emitters in small clusters or arrays.

연구 동기 및 목표

• 작은 발사체 군집에서 뾰족한 필드 강화 인자(FEF)의 분수적 감소율 δ에 대한 서로 다른 기능 형태(지수형 vs. 거듭제곱 법칙형)의 기원을 규명하는 것.
• 유한한 시뮬레이션 도메인 크기(L 및 H)가 단일 발사체의 FEF 계산에 체계적인 오차(ε)를 유도하는 정도를 정량화하는 것.
• 이전 문헌에서 보고된 δ(c)의 명백한 지수 감쇠가 유한한 도메인 크기로 인한 수치 오차의 산물이며, 물리적 현실이 아니라는 것을 입증하는 것.
• 충분히 큰 간격에서, 발사체 형태에 관계없이 δ(c)의 진정된 渐近적 행동이 보편적인 거듭제곱 법칙 감쇠 ∼c⁻³임을 확립하는 것.
• 큰 간격에서 발사체 군집 및 배열에서 전하 둔탁 효과로 인한 FEF 감소를 정확하게 묘사하는 단일 매개변수 거듭제곱 법칙 피팅(γ_CB = γ₁[1 − K(c/h)⁻³])을 제안하는 것.

제안 방법

• 변동 가능한 횡방향 크기 L 및 높이 H를 가진 유한한 시뮬레이션 도메인 내에서 단일 도전성 타원형 발사체의 수치 시뮬레이션.
• L 및 H를 체계적으로 변화시켜 단일 발사체의 뾰족한 FEF 계산 오차 ε를 정량화하고, L/h 및 H/h 비율에 대한 척도 불변의 의존성을 밝혀내는 것.
• 동일한 두 발사체의 분석을 통해 상호 발사체 간 거리 c에 따른 분수적 FEF 감소율 δ = (γ₂ − γ₁)/γ₁를 계산하는 것.
• 식(8) 및 식(9)의 스케일링 관계를 사용하여 임의의 L/h 및 H/h 비율에 대한 오차 ε를 예측하고, 시뮬레이션에서 오차를 제어하는 것.
• δ(c) 데이터를 세 가지 모델에 피팅하는 것: (1) 수정된 지수 함수(식(3)에 자유 매개변수 포함), (2) 이중 매개변수 지수 함수(식(4)), (3) 단일 매개변수 거듭제곱 법칙(식(11)).
• R-제곱 값과 로그-로그 플롯을 사용하여, 큰 c에서 거듭제곱 법칙 모델이 지배적인 성능을 보임을 비교 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다른 문헌 연구에서 발사체 쌍에서 뾰족한 FEF의 분수적 감소율 δ에 대해 지수형과 거듭제곱 법칙형이라는 서로 다른 기능 형태가 보고되는 이유는 무엇인가요?
• RQ2 유한한 시뮬레이션 도메인 크기(L 및 H)가 단일 발사체의 뾰족한 FEF 계산 정확도에 어떤 영향을 미치나요?
• RQ3 이전 연구에서 관측된 δ(c)의 지수 감쇠는 물리적 효과인지, 유한한 도메인 크기로 인한 수치 오차의 산물인가요?
• RQ4 거듭제곱 법칙 감쇠 δ ∼ c⁻³은 발사체 형태에 관계없이 작은 발사체 군집 또는 무한한 배열에서 전하 둔탁 효과의 보편적 행동을 나타내는가요?
• RQ5 단일 매개변수 거듭제곱 법칙 피팅(γ_CB = γ₁[1 − K(c/h)⁻³])은 큰 발사체 간 거리에서 전하 둔탁으로 인한 FEF 감소를 정확하고 보편적으로 묘사할 수 있는가요?

주요 결과

• 단일 발사체의 뾰족한 FEF 계산 오차 ε은 도메인 크기에 척도 불변 방식으로 의존하며, ε은 오직 L/h 및 H/h 비율에 의해 결정된다.
• 단일 발사체 FEF 계산에서 발생하는 소수의 수치 오차(ε ≈ 0.5%)만으로도 δ(c)에 인위적인 지수 감쇠를 유도할 수 있으며, 이는 문헌의 모순을 설명한다.
• 무한한 도메인 크기의 극한(ε = 0)에서 δ(c)는 발사체 형태에 관계없이 보편적인 거듭제곱 법칙 감쇠 ∼c⁻³를 따르며, 이는 Forbes(2016)의 분석 예측을 확인한다.
• 단일 매개변수 거듭제곱 법칙 피팅 γ_CB = γ₁[1 − K(c/h)⁻³]은 이중 매개변수 지수 모델(R² = 0.99661)보다 뛰어난 피팅 성능(R² = 0.99952)을 보이며, 조정 가능한 매개변수도 하나 뿐이다.
• 이 거듭제곱 법칙 행동은 다양한 발사체 시스템(작은 군집 및 무한한 배열 포함)에서 강건하며, 최소 두 개의 세기 단위 이상의 c/h 범위에서 선형 및 로그-로그 플롯 모두에서 확인된다.
• 결과는 작은 군집 또는 배열에서 전하 둔탁 효과가 큰 간격에서 보편적으로 δ ∼ c⁻³ 의존성을 가지며, 이는 정확한 FEF 특성화를 위한 표준 모델이어야 한다는 것을 검증한다.