[논문 리뷰] Orthogonal-ansatz VQE: Locating excited states without modifying a cost-function

Kyle Sherbert, Marco Buongiorno Nardelli|arXiv (Cornell University)|2022. 04. 09.

Quantum Information and Cryptography인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비용 함수를 수정하지 않고도 양자 화학 시뮬레이션에서 고유 상태를 찾는 데 사용할 수 있는 수직-안차즈 VQE(OA-VQE)를 소개한다. 기존에 발견된 상태와의 수직성을 내재적으로 보장하는 파arameterized 양자 회로를 설계함으로써, 단위 연산자가 기준 상태에서 비작용하도록 하여 측정 오버헤드를 줄이고 회로 깊이를 늘리는 방법을 사용한다. 오류 보정 기술 향상에 따라 이는 근접한 양자 우위를 위한 유망한 길을 제공한다.

ABSTRACT

Most literature in the Variational Quantum Eigensolver (VQE) algorithm focuses on finding the ground state of a physical system, by minimizing a quantum-computed cost-function. When excited states are required, the cost-function is usually modified to include additional terms ensuring orthogonality with the ground state. This generally requires additional quantum circuit executions and measurements, increasing algorithmic complexity. Here we present a design strategy for the variational ansatz which enforces orthogonality in candidate excited states while still fully exploring the remaining subset of Hilbert space. The result is an excited-state VQE solver which trades increasing measurement complexity for increasing circuit complexity. The latter is anticipated to become preferable as quantum error mitigation and correction become more refined. We demonstrate our approach with three distinct ansatze, beginning with a simple single-body example, before generalizing to accommodate the full Hilbert space spanned by all qubits, and a constrained Hilbert space obeying particle number conservation.

연구 동기 및 목표

• 에너지 비용 함수를 비용이 많이 드는 방식으로 수정하지 않고도 변량 양자 알고리즘에서 고유 상태를 효율적으로 계산하는 데 도전하는 것.
• 비용 함수에서 수직성 강제를 안차즈 설계로 옮겨 고유 상태 VQE의 측정 복잡도를 줄이는 것.
• 모든 상태에서 일관된 비용 함수를 유지함으로써 반복적인 고유 상태 탐색을 가능하게 하고, 고전적 최적화를 단순화하는 것.
• 각 고유 상태에 대해 잔여 하이르베르트 공간을 완전히 탐색하면서도 수직성을 유지하는 회로 가족을 탐색하는 것.
• 전체 큐비트 매핑, 즉 전체 하이르베르트 공간과 입자 수 보존 하위공간을 포함한 다양한 상황에 적용 가능성을 탐색하는 것.

제안 방법

• 기준 상태 $\ket{z_{i<l}}$ 에서 작용이 비작용하는 단위 연산자 $\hat{\Omega}_l$ 의 가족을 설계하고, 새로운 수직 기준 상태 $\ket{z_l}$ 와 얽히도록 하여 $\braket{\psi_0}{\psi_l} = 0$ 를 보장한다.
• 안차즈 $\ket{\psi_l} = V_l(\theta) V_0 \ket{z_l}$ 를 구성하며, 여기서 $V_0$ 는 $\ket{z_0}$ 에서부터 기저 상태 $\ket{\psi_0}$ 를 준비하고, $V_l(\theta)$ 는 단위 연산의 불변성에 의해 수직성을 유지한다.
• 수지-트로터 분해를 사용하여 $\exp(i\pi \hat{H})$ 를 양자 회로로 구현하고, 순서대로 배열된 파울리 지수함수로 시간 진동 연산자를 근사한다.
• 각 파울리 워드 $\hat{P}_k$ 에 대해 $\exp(i\theta \hat{P}_k/2)$ 를 실현하기 위해 단일 큐비트 회전과 제어 게이트를 구현하며, $X$ 와 $Y$ 항에는 기저 회전을 사용한다.
• 단일체 모델, 전체 하이르베르트 공간, 입자 수 보존 하위공간의 세 가지 다른 시스템에 이 회로 가족을 적용하여 확장성의 가능성을 입증한다.
• 구성에 의해 수직성을 보장한다: $\braket{z_0}{V_l(\theta) \ket{z_0}} = 1$ 이고 $\braket{z_0}{V_l(\theta) \ket{z_1}} = 0$ 이며, 모든 $\theta$ 에 대해 성립하므로 $\braket{\psi_0}{\psi_1} = 0$ 가 보장된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 VQE에서 에너지 비용 함수를 수정하지 않고도 고유 상태를 찾을 수 있는가?
• RQ2 기존에 발견된 상태와 반드시 수직인 상태를 출력하는 파arameterized 양자 회로를 설계할 수 있는가?
• RQ3 비용 함수에서 수직성 강제를 안차즈 설계로 옮기면 반복적인 고유 상태 탐색에서 측정 오버헤드가 감소하는가?
• RQ4 안차즈 설계를 통해 수직성을 강제할 경우, 시스템 크기 증가에 따라 회로 깊이가 어떻게 변화하는가?
• RQ5 이 방법은 입자 수 보존과 같은 대칭성을 가지는 시스템으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• OA-VQE 방법은 에너지 비용 함수를 수정하지 않고도 기저 상태와 수직인 고유 상태를 성공적으로 준비한다.
• 이 방법은 측정 복잡도를 줄이기 위해 회로 깊이를 늘리는 방식으로, 각 에너지 평가에 대해 원래 해밀토니안만 측정하면 된다.
• 단일체 시스템의 경우, 회로 길이가 $\mathcal{O}(N)$ 으로 스케일링되며, 특정 안차즈 가족에 대해 유리한 확장성을 보인다.
• 이 방법은 전체 하이르베르트 공간과 입자 수 보존 하위공간 모두에 적용 가능하며, 광범위한 적용 가능성을 보여준다.
• 수지-트로터 분해를 사용함으로써 표준 파울리 워드 분해를 사용해 시간 진동 연산자를 정확하게 시뮬레이션할 수 있다.
• 이 방법은 일관된 비용 함수를 유지함으로써 반복적인 고유 상태 탐색을 가능하게 하며, 고전적 최적화를 단순화하고 오류 전파를 줄인다.