[논문 리뷰] Orthogonal projections of discretized sets

Weikun He|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 02.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ 내에서 높은 질량의 직교 투영에 대해 보르가인의 이산화된 투영 정리를 일반화한다. 차원 $\alpha$를 갖는 이산화된 집합 $A$에 대해, $A$가 비집중 조건을 만족하고 하위공간의 분포도 비집중일 경우, 대부분의 $m$차원 부분공간으로의 투영은 차원이 $\frac{m}{n}\alpha - \epsilon$ 이상임을 입증한다. 이 결과는 커버링 수와 기하 측도 이론을 사용하여 고차원 여수를 포함한 분수차원 투영 정리를 확장한다.

ABSTRACT

We generalize Bourgain's discretized projection theorem to higher rank situations. Like Bourgain's theorem, our result yields an estimate for the Hausdorff dimension of the exceptional sets in projection theorems formulated in terms of Hausdorff dimensions. This estimate complements earlier results of Mattila and Falconer.

연구 동기 및 목표

• 이중성의 차원이 $\mathbb{R}^n$ 내에서 랭크-일의 투영에서 높은 질량의 직교 투영으로 보르가인의 이산화된 투영 정리를 확장한다.
• 커버링 수를 기반으로, 스케일 $\delta$에서의 예외적인 투영 방향의 하우스도르프 차원에 대한 정량적 추정을 제공한다.
• 집합 $A$와 그라스만이안 상의 측도 $\mu$에 대한 비집중 조건을 만족할 때, 투영의 크기를 제어하는 높은 질량의 이산화된 투영 정리의 유사체를 수립한다.
• 분수기하학적 결과를 도출하여, 차원 $\alpha$를 갖는 해석적 집합에 대해 하우스도르프 차원 기반의 투영 정리를 제공한다.

제안 방법

• 스케일 $\delta$에서 이산화된 집합의 크기를 측정하기 위해 커버링 수 $\mathcal{N}_\delta(A)$를 사용하며, 르베그 또는 하우스도르프 측도를 대체한다.
• 집합 $A$에 대해 프로스트만 유형의 비집중 조건 (2)를 도입하여, $A$가 작은 척도에서 집중되지 않도록 보장한다.
• 그라스만이안 $\operatorname{Gr}(\mathbb{R}^n, m)$ 상의 측도 $\mu$에 대해 비집중 조건 (3)을 도입하여, 모든 $W$와 $\rho \geq \delta$에 대해 $\mu(\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)) \leq \delta^{-\epsilon}\rho^\kappa$를 요구한다.
• 그라스만이안 내의 셸버트 순환체 주변의 이웃 $\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$를 정의하기 위해 각도 거리 $\operatorname{d_{\measuredangle}}(V,W)$를 도입한다.
• 커버링 수 $\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$의 크기를 $\rho^{1/C}$ 기반으로 제어하기 위해 루자시에비치 부등식을 적용하여 차원 추정을 가능하게 한다.
• 매니폴드 상의 실해석 함수에 대한 브루드니의 레메즈 유형 부등식을 사용하여 제한된 투영 가중치 가중치 집합의 크기를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비집중 조건 하에서, $A \subset \mathbb{R}^n$의 $m$차원 부분공간으로의 투영의 최소 차원은 무엇인가?
• RQ2 보르가인의 이산화된 투영 정리는 $\mathbb{R}^n$ 내에서 랭크-일에서 높은 질량의 투영으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ3 하우스도르프 차원이 $\frac{m}{n}\alpha + \epsilon$ 이하인 예외적인 방향 $V$의 집합의 최대 하우스도르프 차원은 무엇인가?
• RQ4 그라스만이안 상의 측도 $\mu$의 비집중성은 $A$의 투영 크기에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 매개변수 $t$에 대해 실해석 함수 $t \mapsto V(t)$로 주어진 투영 가중치 집합에서, 예외적인 매개변수 집합의 크기는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 $\epsilon > 0$에 대해, $\delta_0 > 0$가 존재하여 모든 $\delta < \delta_0$에 대해, $\mathcal{N}_\delta(A') \geq \delta^\epsilon \mathcal{N}_\delta(A)$를 만족하는 $A$의 부분집합 $A'$에 대해, $\mu$-대부분의 집합 $\mathcal{D} \subset \operatorname{Gr}(\mathbb{R}^n, m)$에서 $\mu(\mathcal{D}) \geq 1 - \delta^\epsilon$ 이며, $\mathcal{N}_\delta(\pi_V(A')) \geq \delta^{-\frac{m}{n}\alpha - \epsilon}$ 를 만족한다.
• 예외적인 방향 $V$의 집합, 즉 $\dim_H(\pi_V(A)) \leq \frac{m}{n}\alpha + \epsilon$ 를 만족하는 집합은, 모든 $\rho > 0$에 대해 $\mu(\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)) \leq \rho^\kappa$ 를 만족하는 비영인 측도 $\mu$를 지닐 수 없으며, 이는 하우스도르프 차원 기반으로 예외 집합의 크기를 제어함을 의미한다.
• 실해석 함수 $f(W,t) = \operatorname{d_{\measuredangle}}(V(t),W)^2$의 차수 $d$를 갖는 실해석적 가중치 가중치 집합 $V(t)$ 내에서 예외적인 매개변수 집합의 차원은 전제 조건이 성립할 경우 $p - 1 + d\kappa$ 이하이다.
• 측도 $\mu$의 비집중 조건은 $\delta^{-\epsilon}\rho^\kappa$로 정량화되며, 이는 $\mu$가 약간 집중되어 있어도 스케일 $\delta^\epsilon$ 이내에서 집중이 제어된다면 정리가 성립함을 허용한다.
• 결과는 예상되는 투영 차원 $\frac{m}{n}\alpha$이며, 주어진 조건 하에서 $\epsilon$ 손실은 피할 수 없으므로, 이는 최적임을 의미한다.
• 증명은 루자시에비치 부등식을 통해 $\mathcal{V}_{\measuredangle}(W,\rho)$의 커버링 수를 $\rho^{1/C}$로 연결하고, 브루드니의 레메즈 유형 부등식을 통해 실해석적 가중치 집합 내에서의 예외적 매개변수 집합의 크기를 제어하는 데 의존한다.