[논문 리뷰] Orthonormal bases of Hilbert spaces

Ilijas Farah|ArXiv.org|2009. 08. 13.

Matrix Theory and Algorithms인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 브루스 블랙더가 제기한 질문을 해결하며, 비분리 힐버트 공간이 어떤 또는thon론적 기저를 포함하지 않는 조밀한 선형 부분공간을 가질 수 있음을 증명한다. ℓ²(θ)에서의 사영성질과 초한귀납법을 이용하여 특정 집합론적 조건 하에서 이러한 부분공간을 구성함으로써, 고전적 그람-슈미트 과정이 비분리 설정으로 일반화되지 않는다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

I prove that a Hilbert space has the property that each of its dense (not necessarily closed) subspaces contains an orthoormal basis if and only if it is separable.

연구 동기 및 목표

• 비분리 힐버트 공간의 모든 조밀한 선형 부분공간이 해당 공간의 또는thon론적 기저를 포함해야 하는지 여부라는 열린 질문을 해결하기 위해.
• 분리 가능한 힐버트 공간에서 또는thon론적 기저를 보장하는 고전적 그람-슈미트 과정이 비분리 케이스에서는 실패함을 보여주기 위해.
• ℓ²(θ)에서 크기가 주어진 기수 λ < θ를 초과하는 어떤 또는thon론적 가족도 포함하지 않는 조밀한 부분공간의 명시적 예를 제시하기 위해.
• 특히 기수 산술과 정칙성에 관여하는 집합론적 조건이 이러한 부분공간의 존재에 어떤 영향을 미치는지 명확히 하기 위해.

제안 방법

• ℓ²(θ)에서 {y_{γ,m}}의 조밀한 벡터 집합을 초한귀납법을 통해 구성하여, 이들의 ℓ²(λ)로의 사영이 선형독립이 되도록 한다.
• 초한귀납적 구성 과정 동안 사영의 선형독립성을 보장하기 위해 ℂ 위에서 ℓ²(λ)의 하멜 기저를 활용한다.
• K를 {y_{γ,m}}의 선형스팬으로 정의하고, K에 제한된 사영 p_λ의 핵이 자명함을 증명한다.
• 정칙한 비가산 기수 θ와 ℓ²(θ)에서의 또는thon론적 가족에 대해, 모든 벡터 중 거의 가산 수의 벡터를 제외하고는 ℓ²(λ)와 수직임을 서술하는 보조정리 1을 적용한다.
• H = ℓ²(𝔠) ⊕ ℓ²(θ)의 분해를 이용하여, K ⊆ ℓ²(𝔠)이 크기가 > ℵ₀인 또는thon론적 가족을 포함하지 않는 조밀한 부분공간 K₁ = K ⊕ ℓ²(θ)를 H에서 구성한다.
• 일반화된 Δ-시스템 정리를 적용하여 공통된 사영 지지집합을 가진 큰 벡터 집합을 추출하고, 조건 (1)의 Proposition 4에 따라 크기가 θ인 또는thon론적 가족을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비분리 힐버트 공간의 모든 조밀한 선형 부분공간은 반드시 그 공간의 또는thon론적 기저를 포함하는가?
• RQ2 그람-슈미트 과정은 비분리 힐버트 공간으로 일반화되어 조밀한 부분공간에서 또는thon론적 기저를 추출할 수 있는가?
• RQ3 기수 θ와 λ에 대해 어떤 집합론적 조건이 ℓ²(θ)에서 크기가 > λ인 또는thon론적 가족을 포함하지 않는 조밀한 부분공간의 존재를 보장하는가?
• RQ4 어떤 조건에서 힐버트 공간의 크기가 θ인 모든 선형 부분공간이 크기가 θ인 또는thon론적 가족을 포함하는가?
• RQ5 연속체의 기수와 비가산 기수의 정칙성은 이러한 부분공간의 존재에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• H = ℓ²(θ)인 비분리 힐버트 공간은 H에 대한 또는thon론적 기저를 포함하지 않는 조밀한 선형 부분공간을 가질 수 있으며, 이는 블랙더의 질문에 대한 부정적 해답을 제공한다.
• θ > 2^ℵ₀일 경우, H = ℓ²(𝔠) ⊕ ℓ²(θ)에서 K₁ = K ⊕ ℓ²(θ)인 조밀한 부분공간을 구성할 수 있으며, 이 안에 크기가 θ인 또는thon론적 가족이 존재하지 않는다.
• θ가 정칙이고 모든 λ < θ에 대해 λ^ℵ₀ < θ이면, 힐버트 공간의 크기가 θ인 모든 선형 부분공간은 크기가 θ인 또는thon론적 가족을 포함해야 한다.
• ℓ²(θ)에서 K를 구성함으로써, K에 제한된 사영 p_λ의 핵이 자명함을 보장한다. 즉, p_λ 아래에서 0으로 사영되는 유일한 벡터는 영벡터뿐이다.
• 이러한 부분공간의 존재는 기수 산술에 의해 결정되며, λ^ℵ₀ ≥ θ일 경우 하멜 기저에서의 순차적 선택을 통해 이러한 부분공간을 구성할 수 있다.
• 주요 장애물은 H의 또는thon론적 기저가 ℓ²(𝔠)로의 비영 사영을 가진 비가산 수의 벡터를 필요로 하지만, 이러한 벡터들은 구성된 K의 핵 조건을 위반하기 때문이다.