[논문 리뷰] Oscillating behavior of a compartmental model with retarded noisy dynamic infection rate

Michael Bestehorn, Thomas M. Michelitsch|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 29.

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 기억 효과를 고려한 분포 지연 적분을 통해 지연되고 피드백 제어되는 감염률을 도입함으로써 SIRS 전염병 모델을 확장한다. 지연 시간이 임계 임계값을 초과할 경우 유도되는 지연 미분 방정식은 지속적인 진동을 유도하며, 스토케스틱 노이즈는 변동성이 있는 주파수와 진폭을 가진 불규칙한 파동형 폭발을 추가로 유도한다.

ABSTRACT

Our study is based on an epidemiological compartmental model, the SIRS model. In the SIRS model, each individual is in one of the states susceptible (S), infected(I) or recovered (R), depending on its state of health. In compartment R, an individual is assumed to stay immune within a finite time interval only and then transfers back to the S compartment. We extend the model and allow for a feedback control of the infection rate by mitigation measures which are related to the number of infections. A finite response time of the feedback mechanism is supposed that changes the low-dimensional SIRS model into an infinite-dimensional set of integro-differential (delay-differential) equations. It turns out that the retarded feedback renders the originally stable endemic equilibrium of SIRS (stable focus) into an unstable focus if the delay exceeds a certain critical value. Nonlinear solutions show persistent regular oscillations of the number of infected and susceptible individuals. In the last part we include noise effects from the environment and allow for a fluctuating infection rate. This results in multiplicative noise terms and our model turns into a set of stochastic nonlinear integro-differential equations. Numerical solutions reveal an irregular behavior of repeated disease outbreaks in the form of infection waves with a variety of frequencies and amplitudes.

연구 동기 및 목표

• 시간 지연이 감염 억제 피드백 메커니즘에 미치는 영향이 SIRS 전염병 모델의 흥미로운 평형 상태의 안정성에 어떻게 작용하는지 조사하기 위해.
• 비선형 분할 모델에서 지연된 피드백으로 인해 지속적인 진동이 어떻게 발생하는지 분석하기 위해.
• 지연된 SIRS 프레임워크 내에서 환경 노이즈가 감염률 동역학에 미치는 영향을 조사하기 위해.
• 전염병 개입 전략에서 유한한 반응 시간을 가진 실제 피드백 제어를 모델링하기 위해.
• 정규적인 진동에서부터 불규칙하고 노이즈에 의해 유도된 폭발 패tern으로의 전이를 전염병 동역학에서 탐색하기 위해.

제안 방법

• 과거 감염 수준의 기억 적분을 사용하여 피드백 제어 감염률을 가진 비선형 SIRS 모델을 수립한다.
• 유한한 반응 시간을 모델링하기 위해 정규화된 인과적 확률 밀도 함수 K(t−τ)를 통해 분포 지연을 도입한다.
• 감염률에 다중성 노이즈를 추가하여 비선형 적분 미분 방정식의 시스템을 유도한다.
• 지속 가능한 평형 상태의 안정성 분석을 수행하여 임계 지연 값에서 허프 비분기 점을 식별한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 스토케스틱 지연 미분 방정식을 해결하고 감염자 및 회복자 인구의 시간 시리즈 행동을 분석한다.
• 분기 이론과 수치 연속 기법을 적용하여 안정한 초점에서 불안정한 초점으로의 전이, 이는 진동 해를 가진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 감염률의 유한한 시간 지연이 SIRS 모델의 지속 가능한 평형 상태의 안정성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 감염자 및 회복자 수에서 지속적인 정규적인 진동이 발생하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 다중성 환경 노이즈가 지연된 피드백과 어떻게 상호작용하여 전염병 폭발의 동역학을 변화시키는가?
• RQ4 모델은 실제 패닉에서 관찰된 바와 같이 주파수와 진폭이 변동성이 있는 불규칙한 파동형 폭발을 재현할 수 있는가?
• RQ5 기억 핵함수 K(t−τ)는 감염률과 인구 진동의 시간적 동역학을 어떻게 형상화하는가?

주요 결과

• 피드백 메커니즘에 분포 지연을 도입함으로써 원래 안정적이었던 지속 가능한 평형 상태가 지연 시간이 임계 임계값을 초과할 경우 불안정한 초점으로 전환된다.
• 수치적 해석 결과는 시간 지연 피드백으로 인해 감염자 및 회복자 수에서 지속적인 정규적인 진동이 발생하는 것으로 나타났다.
• 감염률에 다중성 노이즈를 통합함으로써 다양한 주파수와 진폭을 가진 불규칙한 파동형 폭발이 발생한다.
• 노이즈에 의해 유도된 동역학은 결정론적 시스템이 정규적인 진동을 보일 때조차도 실제 패닉 파동과 유사한 복잡한 비주기적 행동을 나타낸다.
• 지연과 노이즈가 함께 작용할 경우 추가적인 비선형성이나 극한 사이클 메커니즘 없이도 복잡한 전염병 동역학을 생성할 수 있음을 모델이 입증한다.
• 진동의 시작을 위한 임계 지연 값은 모델의 파rameter, 특히 피드백 강도와 회복률에 따라 달라진다.