[논문 리뷰] Oscillation of a Linear Delay Impulsive Differential Equation

Leonid Berezansky, Elena Braverman|ArXiv.org|1995. 02. 07.

Nonlinear Differential Equations Analysis참고 문헌 7인용 수 41

한 줄 요약

이 논문은 선형 지연 충격 미분방정식의 진동 행동과 계수를 수정한 비충격 방정식 간의 등가성을 수립한다. 충격 계수의 역수의 곱을 통해 변환된 방정식을 구성함으로써, 저자들은 진동 분석을 표준 지연 미분방정식으로 환원하여, 기존의 비충격 진동 기준을 충격 시스템에 적용할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

The main result of the paper is that the oscillation (non-oscillation) of the impulsive delay differential equation $\dot {x}(t)+\sum_{k=1}^m A_k(t)x[h_k(t)]=0,~~t\geq 0$, $x(τ_j)=B_jx(τ_j-0), \lim τ_j = \infty$ is equivalent to the oscillation (non-oscillation) of the equation without impulses $\dot {x}(t)=\sum_{k=1}^m A_k(t) \prod_{h_k(t)

연구 동기 및 목표

• 충격 지연 미분방정식에 대한 진동 이론의 부재를 해결하기 위해 비충격 방정식과의 다리를 놓는 것.
• 충격 방정식의 진동(비진동)이 유도된 비충격 방정식의 진동(비진동)과 등가임을 증명하는 것.
• 기존의 비충격 이론에서 알려진 결과를 활용하여 충격 시스템에 대한 명시적 진동 및 비진동 기준을 제공하는 것.
• 기본 함수의 양성과 해 표현식을 기반으로 한 새로운 방법을 도입하여 진동을 분석하는 것.

제안 방법

• 관련 시간 간격 동안 원래 계수와 충격 인자들의 역수의 곱으로 계수를 대체하여 비충격 방정식을 유도하는 것.
• 기본 함수 $ X(t,s) $ 를 포함하는 해 표현식 공식을 사용하여 충격 및 비충격 방정식의 해를 연결하는 것.
• 비진동과 $ t \geq t_0 $ 에 대해 기본 함수 $ X(t,s) $ 가 양성임의 존재성 간의 등가성을 수립하는 것.
• 비진동과 비선형 적분부등식의 해 존재성 간의 등가성을 증명하는 것. 이 부등식은 일반화된 특성방정식과 유사하다.
• 기존의 비충격 방정식에 대한 진동 기준을 변환된 방정식에 적용하여 충격 경우의 진동 결과를 도출하는 것.
• 핵심 변환으로서 보조 비충격 방정식 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t) \prod_{h_k(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} x[h_k(t)] = 0 $ 을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 선형 지연 충격 미분방정식의 진동 행동이 비충격 방정식과 어떤 조건에서 등가인가?
• RQ2 비충격 지연 방정식에 대한 진동 기준을 계수 변환을 통해 충격 시스템으로 확장할 수 있는가?
• RQ3 기본 함수는 충격 지연 방정식의 비진동 해를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 충격 크기 $ B_j $ 와 충격 시점 $ \tau_j $ 는 시스템의 진동 성질에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 기존의 비충격 이론에서 알려진 결과를 활용하여 충격 지연 방정식에 대한 명시적 진동 조건을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 충격이 있는 방정식 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t)x[h_k(t)] = 0 $ (여기서 $ x(\tau_j) = B_j x(\tau_j - 0) $) 의 진동(비진동)은 계수를 수정한 비충격 방정식 $ \dot{x}(t) + \sum A_k(t) \prod_{h_k(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} x[h_k(t)] = 0 $ 의 진동(비진동)과 등가이다.
• 충격 시스템의 비진동은 모든 $ t \geq t_0 $ 와 $ s \in [t_0, t) $ 에 대해 양성 기본 함수 $ X(t,s) $ 의 존재성과 등가이다.
• 비진동은 또한 다음 비선형 부등식의 해 존재성과 등가이다: $ u(t) \geq \sum_{k=1}^m A_k^{t_1}(t) \exp\left\{ \int_{h_k^{t_1}(t)}^t u(s)ds \right\} \prod_{h_k^{t_1}(t)<\tau_j\leq t} B_j^{-1} $, 여기서 어떤 $ t_1 \geq 0 $ 에 대해 성립한다.
• 명시적 진동 기준이 도출되었다: 만약 $ \liminf_{t\to\infty} \int_{\underline{h}(t)}^t \sum A_k(s) \prod_{h_k(s)<\tau_j\leq s} B_j^{-1} ds > 1/e $ 이거나 $ \limsup_{t\to\infty} \int_{\bar{h}(t)}^t \sum A_k(s) \prod_{h_k(s)<\tau_j\leq s} B_j^{-1} ds > 1 $ 이면, 모든 해는 진동한다.
• 이 방법을 통해 충격 효과를 포함한 계수 변환을 통해 기존의 비충격 진동 결과를 충격 시스템으로 이식할 수 있다.
• 유계 지연, 가측 계수, 양의 충격 계수 $ B_j > 0 $ 를 가정할 경우 등가성이 성립한다.