[논문 리뷰] Oscillator topologies on a paratopological group and related number invariants

Тарас Банах, Olexandr Ravsky|arXiv (Cornell University)|2008. 10. 16.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 14인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 파라위상군에서 진동기반 위상구조를 도입하고, 진동도 및 가역성과 같은 관련된 수치 불변량을 정의한다. 또한 모든 3-진동하는 하우스도르프 파라위상군이 더 약한 하우스도르프 군 위상구조를 가짐을 증명하며, SIN군 및 타원군에 대한 기존 결과를 확장한다.

ABSTRACT

We introduce and study oscillator topologies on paratopological groups and define certain related number invariants. As an application we prove that a Hausdorff paratopological group $G$ admits a weaker Hausdorff group topology provided $G$ is 3-oscillating. A paratopological group $G$ is 3-oscillating (resp. 2-oscillating) provided for any neighborhood $U$ of the unity $e$ of $G$ there is a neighborhood $V\subset G$ of $e$ such that $V^{-1}VV^{-1}\subset UU^{-1}U$ (resp. $V^{-1}V\subset UU^{-1}$). The class of 2-oscillating paratopological groups includes all collapsing, all nilpotent paratopological groups, all paratopological groups satisfying a positive law, all paratopological SIN-group and all saturated paratopological groups (the latter means that for any nonempty open set $U\subset G$ the set $U^{-1}$ has nonempty interior). We prove that each totally bounded paratopological group $G$ is countably cellular; moreover, every cardinal of uncountable cofinality is a precaliber of $G$. Also we give an example of a saturated paratopological group which is not isomorphic to its mirror paratopological group as well as an example of a 2-oscillating paratopological group whose mirror paratopological group is not 2-oscillating.

연구 동기 및 목표

• 모든 정규 하우스도르프 파라위상군이 더 약한 하우스도르프 군 위상구조를 가질 수 있는지에 대한 I. 구란의 질문에 응답하기.
• 기존 위상과 군 반사 위상 사이의 중간 구조로 진동기반 위상구조를 정의하고 연구하기.
• 파라위상군을 분류하기 위해 진동도 및 가역성과 같은 수치 불변량을 도입하고 분석하기.
• 특히 3-진동 및 2-진동 군에 대해, 파라위상군의 군 반사 위상이 하우스도르프가 되는 충분한 조건을 제공하기.
• 스aturated 및 LSIN군을 포함한, 자신과 거울군으로서 이sovolumetric이 아닌 파라위상군의 예를 구성하기.

제안 방법

• 이웃의 곱과 그 역수를 반복 적용하여 진동기반 위상구조를 정의한다: $(\pm U)^n = U(\mp U)^{n-1}$ 및 $(\mp U)^n = U^{-1}(\pm U)^{n-1}$.
• 3-진동 파라위상군의 개념을 조건 $V^{-1}VV^{-1} \subset UU^{-1}U$ ($n=3$) 및 $V^{-1}V \subset UU^{-1}$ ($n=2$)를 통해 도입한다.
• 기존 위상보다 더 약한 가장 강력한 군 위상구조인 군 반사 $G^\flat$를 연속 준동형사상에 의해 범주론적으로 정의한다.
• T-필터와 $\tau_\flat$의 내부 기술을 사용하여 반사 위상에서 $\flat$-닫힘 및 $\flat$-열린 집합을 특성화한다.
• 비자명한 특성함수를 가진 리군 $\mathrm{Aff}^+(\mathbb{R})$와 같은 예를 사용하여, 소르게프리형 파라위상구조를 생성한다.
• 만약 위상군 $G$가 모든 자기동형사상이 내부 동형이며, 비열린 핵심 특성함수를 가진다면, $G$ 위에 소르게프리 파라위상구조를 부여하면, 이는 자신과 거울군으로서 이sovolumetric이 아닌 스aturated 군이 된다는 것을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 3-진동하는 하우스도르프 파라위상군이 더 약한 하우스도르프 군 위상구조를 가질 수 있는가?
• RQ2 스aturated 또는 2-진동인 경우에도, 서로 이sovolumetric이 아닌 파라위상군이 존재하는가?
• RQ3 진동기반 위상구조를 사용하여 군 반사 위상이 하우스도르프이거나 유한한 진동도를 가질 조건을 특성화할 수 있는가?
• RQ4 모든 정규 $\flat$-분리된 파라위상군은 반드시 $\flat$-정규인가?
• RQ5 어떤 $n$에 대해 $\mathrm{osc}(G) = n$인 파라위상군이 존재하며, 이러한 군은 명시적으로 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 3-진동하는 하우스도르프 파라위상군은 더 약한 하우스도르프 군 위상구조를 가지며, 이는 구란의 질문에 대한 특수한 경우에 대한 긍정적 응답이다.
• 2-진동 파라위상군의 범주는 모든 붕괴군, 타원군, 양의 법칙을 만족하는 군, 파라위상 SIN군, 그리고 스aturated 군을 포함한다.
• 모든 완비 위상군은 가산 셀룰라리티를 가지며, 모든 비가산 정규 기수는 이러한 군의 전기능성을 갖는다.
• 스aturated 파라위상군(예: $\mathrm{Aff}^+(\mathbb{R})$에 소르게프리 위상구조를 부여한 경우)이 존재하며, 이는 자신과 거울군으로서 이sovolumetric이 아니다.
• 거울군이 2-진동하지 않는 2-진동 파라위상군이 존재하며, 이는 2-진동 성질의 비대칭성을 보여준다.
• 파라위상군 $G$가 하우스도르프일지라도, 그 군 반사 $G^\flat$가 하우스도르프일 수는 없지만, 3-진동 또는 2-진동 조건이 성립하면 이를 피할 수 있다.