[논문 리뷰] Out-of-time-order correlator in weakly perturbed integrable systems

Tomer Goldfriend, Jorge Kurchan|arXiv (Cornell University)|2019. 11. 10.

Quantum chaos and dynamical systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 약한 외부 흐름이 가해진 통합계에서 양자 리아풀로프 지수를 시간 외순서상관함수(OTOC)를 통해 연구하며, 고전적 접선공간 역학과 유사한 선형 초연산자 방정식을 유도한다. 반도체 근사에서 양자 리아풀로프 지수는 ε^{1/3} 비례로 스케일링되며 고전적 값과 일치하지만, 고도로 양자역학적 영역에서는 양자 변동성이 혼돈을 억제하고, 작은 외부 흐름에 대해서는 ε^{1/3} 의존성까지 더욱 억제한다.

ABSTRACT

Classical quasi-integrable systems are known to have Lyapunov times much shorter than their ergodicity time, but the situation for their quantum counterparts is less well understood. As a first example, we examine the quantum Lyapunov exponent -- defined by the evolution of the 4-point out-of-time-order correlator (OTOC) -- of integrable systems which are weakly perturbed by an external noise, a setting that has proven to be illuminating in the classical case. In analogy to the tangent space in classical systems, we derive a linear superoperator equation which dictates the OTOC dynamics. We find that {\em i)} in the semi-classical limit the quantum Lyapunov exponent is given by the classical one: it scales as $ε^{1/3}$, with $ε$ being the variance of the random drive, leading to short Lyapunov times compared to the diffusion time (which is $\sim ε^{-1}$). {\em ii)} in the highly quantal regime the Lyapunov instability is suppressed by quantum fluctuations, and {\em iii)} for sufficiently small perturbations the $ε^{1/3}$ dependence is also suppressed -- another purely quantum effect which we explain. Several numerical examples which demonstrate the theoretical predictions are given. The implication for the results to the behavior of real near-integrable systems, and for quantum limits on chaos are briefly discussed.

연구 동기 및 목표

• 고전적 대응체가 짧은 리아풀로프 시간을 보이는 약한 외부 흐름이 가해진 통합계에서의 양자 리아풀로프 지수의 거동를 이해하기 위해.
• 고전적 준통합역학과 그 양자 대응체 사이의 격차를 메우며, 특히 혼돈과 불안정성 측면에서.
• 약한 노이즈 하에서 통합계의 OTOC 동역학에 대해 고전적 접선공간 방정식의 양자 대응체를 유도하기 위해.
• 혼돈의 발생에 있어 반도체 행동과 순수한 양자 효과 간의 상호작용을 분석하기 위해.
• 근접 통합 양자계에서 리아풀로프 불안정성의 양자 억제를 수치적 및 해석적으로 입증하기 위해.

제안 방법

• 약한 외부 흐름이 가해진 통합 양자계에서 4점 OTOC의 시간 진화를 지배하는 선형 초연산자 방정식을 유도하기 위해.
• 고전적 혼돈 지표와 유사하게 OTOC의 지수적 증가율을 통해 양자 리아풀로프 지수를 정의하기 위해.
• 반도체 근사를 사용하여 양자 OTOC 동역학을 고전적 리아풀로프 행동, 특히 노이즈 분산 ε에 대한 ε^{1/3} 스케일링과 연결하기 위해.
• 고도로 양자역학적 영역에서 양자 변동성이 불안정성 억제에 미치는 영향을 평가하기 위해 시스템을 분석하기 위해.
• 작은 외부 흐름에서 ε^{1/3} 의존성이 억제되는 것을 순수한 양자 효과로 식별하고 설명하기 위해.
• 다양한 외부 흐름 강도 및 양자적 행동 영역에서 이론적 예측을 검증하기 위해 수치 시뮬레이션을 수행하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반도체 근사에서 약한 외부 흐름이 가해진 통합계에서 양자 리아풀로프 지수는 어떻게 행동하며, 고전적 ε^{1/3} 스케일링을 회복하는가?
• RQ2 양자 변동성은 얼마나 근접 통합 양자계에서 리아풀로프 불안정성을 억제할 수 있는가?
• RQ3 작은 노이즈 강도에서 왜 ε^{1/3} 의존성이 억제되는가? 이 순수한 양자 효과의 기원은 무엇인가?
• RQ4 약한 외부 흐름 하에서 양자 통합계의 OTOC 동역학은 고전적 접선공간 역학과 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이러한 결과는 근접 통합계에서 혼돈의 양자적 한계와 실제 근접 통합계의 거동에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 반도체 근사에서 양자 리아풀로프 지수는 ε^{1/3} 비례로 스케일링되며, 고전적 값과 일치하며, 확산 시간 ∼ε^{-1} 과 비교해 짧은 리아풀로프 시간을 유도한다.
• 고도로 양자역학적 영역에서 양자 변동성이 리아풀로프 불안정성을 억제함으로써 고전적 혼돈과의 근본적인 차이를 나타낸다.
• 충분히 작은 외부 흐름에 대해서는 ε^{1/3} 의존성이 억제되며, 이는 고전적 동역학에는 존재하지 않는 순수한 양자 효과이다.
• OTOC 동역학에 대해 유도된 선형 초연산자 방정식은 고전적 접선공간 방정식의 양자 대응체로 기능한다.
• 수치적 예시들은 반도체 및 고도로 양자역학적 영역 모두에서 이론적 예측을 확인한다.
• 결과는 양자 효과가 근접 통합계에서 혼돈의 발생에 기본적인 한계를 부여함을 시사한다.