[논문 리뷰] Out-of-Time Ordered Correlators in Kicked Coupled Tops: Information Scrambling in Mixed Phase Space and the Role of Conserved Quantities

Naga Dileep Varikuti, Vaibhav Madhok|arXiv (Cornell University)|2022. 01. 15.

Chaos-based Image/Signal Encryption인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 외부 힘에 의해 자극되는 결합된 토퍼 시스템(Kicked Coupled Tops, KCT)에서 연산자 성장과 정보 스캐러밍을 시간에 따라 순서가 뒤집힌 상관함수(Out-of-Time-Ordered Correlators, OTOC)를 사용하여 연구한다. 주로 양자 혼돈, 보존량(전체 자화도), 그리고 혼합된 고전적 위상공간 간의 상호작용을 중심으로 다룬다. 연구 결과, 완전히 혼돈적인 영역에서 OTOC 성장률이 고전적 리아푸노프 지수와 매우 잘 일치하며, 초기 상태가 혼돈적인 고유상태에서 추출될 경우 스캐러밍이 강화됨을 보여주며, 초기 연산자가 보존량과 교환관계를 가지는지 여부에 따라 OTOC 동역학이 상이하게 나타남을 확인하였다.

ABSTRACT

We study operator growth in a bipartite kicked coupled tops (KCT) system using out-of-time ordered correlators (OTOCs), which quantify ``information scrambling" due to chaotic dynamics and serve as a quantum analog of classical Lyapunov exponents. In the KCT system, chaos arises from the hyper-fine coupling between the spins. Due to a conservation law, the system's dynamics decompose into distinct invariant subspaces. Focusing initially on the largest subspace, we numerically verify that the OTOC growth rate aligns well with the classical Lyapunov exponent for fully chaotic dynamics. While previous studies have largely focused on scrambling in fully chaotic dynamics, works on mixed-phase space scrambling are sparse. We explore scrambling behavior in both mixed-phase space and globally chaotic dynamics. In the mixed phase space, we use Percival's conjecture to partition the eigenstates of the Floquet map into ``regular" and ``chaotic." Using these states as the initial states, we examine how their mean phase space locations affect the growth and saturation of the OTOCs. Beyond the largest subspace, we study the OTOCs across the entire system, including all other smaller subspaces. For certain initial operators, we analytically derive the OTOC saturation using random matrix theory (RMT). When the initial operators are chosen randomly from the unitarily invariant random matrix ensembles, the averaged OTOC relates to the linear entanglement entropy of the Floquet operator, as found in earlier works. For the diagonal Gaussian initial operators, we provide a simple expression for the OTOC.

연구 동기 및 목표

• 혼합된 고전적 위상공간을 가진 양자 시스템에서 보존량이 정보 스캐러밍에 미치는 영향을 이해하는 것.
• 특히 대칭과 교환관계를 가지는지 여부에 따라 달라지는 연산자 초기 조건이 OTOC 성장에 미치는 역할을 분석하는 것.
• 플로케트 변환에서의 혼돈적 및 정규 고유상태의 위상 구조와 OTOC 행동 간의 연관성을 설정하는 것.
• 특히 대칭에 의해 제약을 받는 경우에 대해, 무작위 연산자 집합에 대한 평균 OTOC에 대한 해석적 표현을 유도하는 것.
• 보존량이 있는 시스템에서 OTOC, 엔트로피, 그리고 혼란 생성 능력 간의 관계를 명확히 하는 것.

제안 방법

• 보존된 총 자화도를 가진 이원자 외부 힘에 의해 자극되는 결합된 토퍼(KCT) 모델을 사용하여, 불변 부분공간으로 분해가 가능하도록 한다.
• OTOC는 $ C(t) = C_2(t) - C_4(t) $ 라는 교환자 함수를 통해 계산되며, 여기서 $ C_4(t) $ 는 시간 순서가 뒤집힌 네점 상관함수이다.
• 가장 큰 불변 부분공간에서 OTOC 성장률을 고전적 리아푸노프 지수와 비교하여 양자-고전적 대응을 평가한다.
• Percival의 추측을 적용하여 플로케트 고유상태를 정규 및 혼돈성 성분으로 분류함으로써, 혼합된 위상공간에서의 OTOC 분석이 가능해진다.
• 일반선형군집합(Gaussian Unitary Ensemble, GUE)에서 유도된 무작위 연산자에 대해 평균 OTOC를 계산하며, $ z $-자화도 대칭과 교환관계를 가지는 연산자에 대해서는 특별한 처리를 한다.
• 무작위 연산자가 보존량과 교환관계를 가지는 경우에 대해 평균 OTOC의 닫힌 형태 표현을 유도하였으며, 이는 선형 엔트로피와 혼란 생성 능력과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 혼합된 고전적 위상공간을 가진 양자 시스템에서 보존량의 존재가 OTOC의 동역학에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 혼돈 영역에서 OTOC 성장률이 고전적 리아푸노프 지수와 어느 정도 상관관계를 가지는가?
• RQ3 초기 연산자의 선택, 특히 대칭과 교환관계를 가지는지 여부가 스캐러밍 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 초기 연산자가 무작위이지만 대칭에 의해 제약을 받을 경우 평균 OTOC의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ5 플로케트 연산자의 혼돈적 및 정규 고유상태가 연산자의 효과적 스캐러밍 속도에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 완전히 혼돈적인 영역에서 OTOC 성장률은 고전적 리아푸노프 지수와 매우 우수한 일치를 보이며, 양자-고전적 대응을 확인한다.
• 무작위 혼합된 혼돈적 플로케트 고유상태에서 초기화된 경우, 균일하게 혼합된 상태에서 초기화된 경우보다 OTOC 성장이 더 빠르며, 이는 혼돈 영역에서 스캐러밍이 강화됨을 시사한다.
• GUE에서 유도된 무작위 연산자에 대한 평균 OTOC는 플로케트 연산자의 선형 엔트로피와 관련이 있으며, 이는 이전 연구 결과와 일치한다.
• 무작위 연산자가 보존된 $ z $-자화도와 교환관계를 가지는 경우에 대해 평균 OTOC의 닫힌 형태 표현을 유도하였으며, 이는 시간 진동의 혼란 생성 능력과 연결된다.
• 초기 연산자가 대칭과 교환관계를 가지는지 여부에 따라 스캐러밍 동역학이 상당히 다름을 보이며, 이는 보존량이 연산자 성장에 저항력을 갖는다는 것을 입증한다.
• 결과적으로 정보 스캐러밍이 힐베르트 공간 전반에 균일하게 퍼지지 않고, 기저가 되는 고전적 위상공간의 구조와 대칭 제약 조건에 의해 강하게 영향을 받는다는 점을 드러낸다.