[논문 리뷰] Outlier Detection for DNA Fragment Assembly

Christina Boucher, Christine Lo외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 02.

Algorithms and Data Compression참고 문헌 38인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 DNA 조각 조립에서의 오류 보정을 모델링하기 위해 오류가 심한 독서(이상치)의 일부를 탐지하고 제거해야 하는 Consensus String with Outliers 문제를 제안한다. 문제의 목적값을 매개변수로 삼는 PTAS와 FPT 알고리즘을 제시하며, 문제는 PTAS를 갖지만 FPT=W[1]이 아닌 한 EPTAS를 갖지 못함을 증명하여, 이는 이러한 복잡도 프로파일을 가진 첫 번째 문제이다.

ABSTRACT

Given $n$ length-$\ell$ strings $S =\{s_1, ..., s_n\}$ over a constant size alphabet $Σ$ together with parameters $d$ and $k$, the objective in the {\em Consensus String with Outliers} problem is to find a subset $S^*$ of $S$ of size $n-k$ and a string $s$ such that $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s) \leq d$. Here $d(x, y)$ denotes the Hamming distance between the two strings $x$ and $y$. We prove 1. a variant of {\em Consensus String with Outliers} where the number of outliers $k$ is fixed and the objective is to minimize the total distance $\sum_{s_i \in S^*} d(s_i, s)$ admits a simple PTAS. (ii) Under the natural assumption that the number of outliers $k$ is small, the PTAS for the distance minimization version of {\em Consensus String with Outliers} performs well. In particular, as long as $k\leq cn$ for a fixed constant $c < 1$, the algorithm provides a $(1+ε)$-approximate solution in time $f(1/ε)(n\ell)^{O(1)}$ and thus, is an EPTAS. 2. In order to improve the PTAS for {\em Consensus String with Outliers} to an EPTAS, the assumption that $k$ is small is necessary. Specifically, when $k$ is allowed to be arbitrary the {\em Consensus String with Outliers} problem does not admit an EPTAS unless FPT=W[1]. This hardness result holds even for binary alphabets. 3. The decision version of {\em Consensus String with Outliers} is fixed parameter tractable when parameterized by $\frac{d}{n-k}$. and thus, also when parameterized by just $d$. To the best of our knowledge, {\em Consensus String with Outliers} is the first problem that admits a PTAS, and is fixed parameter tractable when parameterized by the value of the objective function but does not admit an EPTAS under plausible complexity assumptions.

연구 동기 및 목표

• 유전체 시퀀싱에서 극도로 오류가 심한 독서(이상치)를 처리하지 못하는 고전적 오류 보정 모델의 한계를 해결하기 위해.
• 일부 독서가 공통 일치에서 크게 벗어나는 작은 수의 이상치 독서를 명시적으로 고려하는 새로운 문제인 Consensus String with Outliers를 정식화하기 위해.
• 다양한 매개변수화 하에 문제의 근사 가능성과 고정 매개변수 복잡도를 분석하기 위해.
• 특히 EPTAS에 대한 효율적인 근사 체계의 존재에 대한 엄밀한 이론적 경계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 공통 일치 문자열과 총 해밍 거리가 최소가 되는 $ n-k $개의 이상치가 아닌 문자열의 부분집합을 찾는 것으로 Consensus String with Outliers 문제를 수식화한다.
• 매개변수 $ k $ 가 고정되어 있을 경우, 거리 최소화 변형에 대해 PTAS를 개발하며, 초그래프 열거와 분수 커버 수의 경계를 조합한다.
• 매개변수화된 감소와 갭 보존 감소를 적용하여, 문제는 FPT=W[1]이 아닌 한 EPTAS를 갖지 못함을 증명한다. 이는 이진 알파벳에 대해서도 성립한다.
• 제한된 분수 커버 수를 활용하여 공통 일치에서의 편차 발생 가능 위치를 초그래프 기반으로 식별한다.
• 후보 공통 일치와 최대 $ heta $개의 위치에서 다를 수 있는 문자열에 대한 동적 탐색을 수행하며, 부분초그래프 탐지를 통해 탐색 공간을 줄인다.
• 총 거리 $ d $ 와 비이상치 수 $ n-k $ 의 비율인 $ d/(n-k) $ 를 매개변수로 삼을 경우, 새로운 알고리즘 프레임워크를 통해 고정 매개변수 트랙터블리티를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공통 일치 형성에 악영향을 미치는 극도로 오류가 심한 독서(이상치)를 명시적으로 탐지하고 제거함으로써 DNA 조각 조립의 오류 보정 성능을 향상시킬 수 있는가?
• RQ2 Consensus String with Outliers 문제는 다항 시간 근사 체계(PTAS)를 갖는가? 그리고 그 매개변수 의존성은 어떠한가?
• RQ3 목적 함수 값 $ d/(n-k) $ 를 매개변수로 삼을 경우 문제는 고정 매개변수 트랙터블한가? 그리고 그 복잡도 의미는 무엇인가?
• RQ4 PTAS를 EPTAS로 업그레이드할 수 있는가? 그러한 향상에 대한 경계는 무엇인가?
• RQ5 문제의 근사 가능성과 고정 매개변수 복잡도 사이의 관계는 어떠한가? 특히 FPT=W[1]과 같은 합리적인 복잡도 가정 하에.

주요 결과

• 매개변수 $ k $ 가 고정되어 있을 경우, 거리 최소화 변형에 대해 PTAS를 갖는다. 실행 시간은 $ f(1/ heta)(n heta)^{O(1)} $ 이며, 이 체계는 하드 거리 경계가 있는 크기 최대화 변형으로도 응용 가능하다.
• 매개변수 $ k < cn $ 이고 $ c<1 $ 이 상수일 경우, PTAS는 EPTAS가 되며 실행 시간은 $ f(1/ heta)(n heta)^{O(1)} $ 이다. 이는 희박한 이상치 가정 하에서 강력한 성능을 보임을 시사한다.
• 문제는 FPT=W[1]이 아닌 한 EPTAS를 갖지 못하며, 이는 이진 알파벳에 대해서도 성립한다. 이는 엄밀한 복잡도 경계를 확립한다.
• 결정 문제의 경우 $ d/(n-k) $ 를 매개변수로 삼을 때 고정 매개변수 트랙터블리티를 갖는다. 이는 비율의 유한성으로 인해 $ d $ 를 매개변수로 삼을 경우에도 동일하게 성립한다.
• 이 문제는 목적 함수 값에 대해 PTAS를 갖고 FPT이지만, 표준 복잡도 가정 하에 EPTAS를 갖지 않는 첫 번째 알려진 문제이다.
• 경계 결과는 매개변수화된 감소와 갭 보존 감소를 새로운 방식으로 조합하여, 문자열학 분야에서의 복잡도 분석에 새로운 기법을 제공한다.