[논문 리뷰] Output Feedback Control of Inhomogeneous Parabolic PDEs with Point Actuation and Point Measurement using SOS and Semi-Separable Kernels

Aditya Gahlawat, Matthew M. Peet|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 24.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 18인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 점형 제어 및 점형 측정을 갖는 일차원 비균질 편미분방정식(PDE)에 대해 출력 피드백 제어기를 설계하기 위해 제곱합(SOS) 및 준분리형 커널 기반 접근법을 제안한다. 제곱형 리아프노프 함수, 제어기 및 관측기의 매개변수화를 위해 SOS 다항식과 양의 행렬을 사용함으로써, 유한한 $L_2$-이득과 안정성을 보장하는 선형 연산자 부등식(LOI)을 구성한다. 수치적 증거는 다항식 차수가 충분히 높을 경우 가측성과 관측 가능성이 확보된 시스템에서 성공을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we use SOS and SDP to design output feedback controllers for a class of one-dimensional parabolic partial differential equations with point measurements and point actuation. Our approach is based on the use of SOS to search for positive quadratic Lyapunov functions, controllers and observers. These Lyapunov functions, controllers and observers are parameterized by linear operators which are defined by SOS polynomials. The main result of the paper is the development of an improved class of observer-based controllers and evidence which indicates that when the system is controllable and observable, these methods will find a observer-based controller for sufficiently high polynomial degree (similar to well-known results from backstepping).

연구 동기 및 목표

• 점형 측정 및 제어만을 갖는 비균질 편미분방정식(PDE)에 대해 출력 피드백 경계 제어기를 설계하기 위해.
• 이전의 SOS 기반 제어 방법을 균질 사례를 넘어 비균질이며, 경우에 따라 불안정한 PDE까지 확장하기 위해.
• SOS 다항식으로 매개변수화된 준분리형 커널과 양의 연산자를 사용하여 더 넓은 범위의 리아프노프 함수 클래스를 개발하기 위해.
• 선형 연산자 부등식(LOI)을 통해 닫힌 루프 시스템을 안정화하기 위한 수치적으로 검증 가능한 조건을 제공하기 위해.
• 다항식 차수가 충분히 높을 경우, 가측성과 관측 가능성이 확보된 시스템에서 성공적으로 작동함을 수치적 예제를 통해 보여주기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 제곱합(SOS) 다항식을 사용하여 PDE 상태에 대한 제곱형 리아프노프 함수를 정의하는 양의 연산자를 매개변수화한다.
• 리아프노프 함수는 국소 항 $M(x)w(x)^2$ 와 준분리형 커널 $K(x,\xi)$를 갖는 비국소 적분 항의 조합으로 구성되며, 다항식 $K_1$ 및 $K_2$로 조각별로 정의된다.
• 제어기 및 관측기는 루엔버거 관측기 구조를 사용하며, 오차 동역학이 외부 교란으로부터 유한한 $L_2$-이득을 가져야 한다는 조건을 만족시킨다.
• 안정성 조건은 선형 연산자 부등식(LOI)으로 구성되며, 커널 및 승수 함수의 매개변수화를 통해 제곱합(SOS) 프로그램으로 변환된다.
• 해결된 최적화 문제는 준정부호계획법(SDP)을 통해 해결되어 제어기 및 관측기 이득의 수치적 계산이 가능해진다.
• 경계 조건 및 추적 항은 적분을 통한 부분적 통합 및 커널 함수의 대칭성 특성을 통해 정밀하게 다뤄진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SOS 기반 방법은 점형 제어 및 측정을 갖는 비균질 편미분방정식(PDE)의 안정화에 확장 가능한가?
• RQ2 준분리형 커널을 갖는 더 넓은 범위의 리아프노프 함수 클래스는 간단한 형태에 비해 PDE 제어 설계에 있어 성능을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 다항식 차수가 충분히 높을 경우, 제안된 방법이 가측성과 관측 가능성이 확보된 모든 시스템에 대해 유한한 $L_2$-이득 제어를 달성하는가?
• RQ4 SOS 및 SDP를 사용하여 제어기, 관측기 및 리아프노프 함수를 효과적으로 매개변수화할 수 있는가? 이는 닫힌 루프 안정성을 보장하는가?
• RQ5 준분리형 커널 구조는 PDE에 대해 유효한 리아프노프 함수를 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 제안된 방법은 점형 제어 및 측정을 갖는 비균질 편미분방정식(PDE)에 대해 SOS 및 준분리형 커널을 사용하여 출력 피드백 제어기를 성공적으로 설계한다.
• 준분리형 커널의 사용은 이전 방법에 비해 더 풍부한 리아프노프 함수 클래스를 가능하게 하여 유연성과 안정화 잠재력 향상을 높인다.
• 수치적 결과는 닫힌 루프 시스템에 대해 유한한 $L_2$-이득을 달성함을 보여주며, 외부 교란에 대한 강건성을 나타낸다.
• 형식적 증명은 아니지만, 커널 근사의 다항식 차수가 충분히 높을 경우 가측성과 관측 가능성이 확보된 모든 시스템을 안정화할 수 있다는 증거가 제시된다.
• 이 방법은 무한차원 제어 문제를 유한차원 SOS/SDP 프로그램으로 변환하여 표준 솔버를 통해 수치적 해를 구할 수 있게 한다.
• 비균질 항과 더 복잡한 커널 구조를 통합함으로써 이전의 균질 PDE에 대한 연구를 일반화한다.