[논문 리뷰] Output Feedback Controller Synthesis for Negative Imaginary Systems

James Dannatt, Ian R. Petersen|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 27.

Piezoelectric Actuators and Control참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 두 쌍둥이 대수적 리카티 방정식(AREs)의 해를 이용하여 음의 이미지(NI) 시스템에 대해 стрictly proper 동적 출력 피드백 컨트롤러를 합성하기 위한 필수 및 필요조건을 제시한다. 이 방법은 셸러 분해(Schur decomposition)와 리카티 방정식을 통해 특이 행렬을 피하고, 닫힘 루프 시스템이 NI 성질을 유지하며 식물의 불확실성이 엄격히 음의 이미지(SNI)일 경우 양의 피드백 하에서도 안정성을 확보한다.

ABSTRACT

This paper presents necessary and sufficient conditions for deriving a strictly proper dynamic controller which satisfies the negative imaginary output feedback control problem. Our synthesis method divides the output feedback control problem into a state feedback problem and a dual output injection problem. Thus, a controller is formed using the solutions to a pair of dual algebraic Riccati equations. Finally, an illustrative example is offered to show how this method may be applied.

연구 동기 및 목표

• 음의 이미지 시스템에서 동적 출력 피드백 컨트롤러 합성에 대한 필수 및 필요조건이 부족한 문제를 해결한다.
• 이전 방법들이 제공한 충분조건만을 제시하거나 점근적 안정성을 보장하지 못하는 한계를 극복한다.
• 식물의 불확실성이 엄격히 음의 이미지(SNI)일 경우, 닫힘 루프 시스템이 음의 이미지 성질을 유지하고 양의 피드백 하에서도 강건 안정성을 확보하도록 보장한다.
• 특이 행렬 문제를 피하기 위해 셸러 분해와 리카티 방정식을 사용하여 계산적으로 실현 가능한 방법을 개발한다.
• 출력 피드백 문제를 상태 피드백과 쌍둥이 출력 주입 문제로 분리하는 컨트롤러 설계 프레임워크를 제공하여 체계적인 합성 가능성을 확보한다.

제안 방법

• 시스템의 쌍대성(duality)을 이용해 출력 피드백 제어 문제를 상태 피드백 문제와 쌍둥이 출력 주입 문제로 분해한다.
• 두 쌍둥이 대수적 리카티 방정식(AREs)의 해를 사용하여 컨트롤러를 구성함으로써, 닫힘 루프 시스템이 음의 이미지 성질을 이어받도록 보장한다.
• NI 시스템에서 흔히 발생하는 특이성을 피하기 위해 해밀토니안 유사 행렬의 구조에 셸러 분해를 적용한다.
• 셸러 분해로부터 유도된 두 리카티 방정식을 풀어 쌍둥이 AREs의 해를 계산한다.
• 해결된 쌍둥이 AREs의 해를 이용해 상태 추정과 피드백을 통해 컨트롤러를 구성함으로써, 엄밀한 properness와 안정성을 확보한다.
• 변환 행렬을 사용해 시스템을 대각화하고 컨트롤러 설계를 지배하는 핵심 행렬 방정식을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스트릭트리 프로퍼 동적 컨트롤러가 음의 이미지 시스템의 출력 피드백 제어 문제를 해결하기 위한 필수 및 필요조건은 무엇인가?
• RQ2 NI 시스템에서 흔히 발생하는 특이 행렬 문제를 피하면서 쌍둥이 대수적 리카티 방정식을 어떻게 안정적으로 풀 수 있는가?
• RQ3 이 컨트롤러 합성 방법은 닫힘 루프 시스템의 음의 이미지 성질과 점근적 안정성을 모두 보장할 수 있는가?
• RQ4 상태 피드백과 출력 주입 사이의 쌍대성은 어떻게 활용되어 체계적인 컨트롤러 설계 절차를 유도할 수 있는가?
• RQ5 식물의 불확실성이 엄격히 음의 이미지일 경우, 닫힘 루프 시스템이 양의 피드백 하에서도 강건 안정성을 유지하기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 음의 이미지 시스템에서 동적 출력 피드백 컨트롤러 합성에 대한 필수 및 필요조건을 확립하여, 이전 연구에서 충분조건만 제시한 격차를 해소한다.
• 셸러 분해와 두 리카티 방정식의 해법을 통해 특이 행렬 문제를 피함으로써 신뢰할 수 있는 수치 계산이 가능해진다.
• 닫힘 루프 시스템은 음의 이미지 성질을 보장받으며, DC 이득이 1 미만일 경우 식물의 불확실성이 엄격히 음의 이미지(SNI)일 때 양의 피드백 하에서도 강건 안정성을 확보한다.
• 이 방법은 출력 피드백 문제를 상태 피드백과 쌍둥이 출력 주입 문제로 성공적으로 분리하며, 이는 쌍둥이 AREs의 해로부터 유도된다.
• 컨트롤러는 엄밀히 proper하며 점근적 안정성을 보장한다. 이는 이전 방법들이 원점에 있는 폐점이 존재할 수 없음을 보장하지 못한 것과 대비된다.
• 유도 과정에서 사용된 변환 행렬은 결과 컨트롤러가 필요한 구조적 성질을 유지하도록 보장하며, 행렬의 역행렬 조건과 리카티 해의 정정규성에 대한 명시적 조건이 포함되어 있다.