[논문 리뷰] Output feedback exponential stabilization for 1-D unstable wave equations with boundary control matched disturbance

Hua‐Cheng Zhou, George H. Weiss|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 07.

Stability and Controllability of Differential Equations인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 내부 불확실성과 외부 유한한 외란으로 구성된 총 외란에 대해 경계 제어가 매칭된 1차원 불안정 파동 방정식에 대한 출력 피드백 지수 안정화기를 제시한다. 두 개의 변위 측정값(w(0,t), w(1,t))만을 사용하여 저이득 외란 추정기와 관측기 기반 제어기를 설계함으로써, 닫힘 루프 시스템의 지수 안정성을 확보하면서 내부 모든 신호가 균일하게 유계임을 보장한다.

ABSTRACT

We study the output feedback exponential stabilization of a one-dimensional unstable wave equation, where the boundary input, given by the Neumann trace at one end of the domain, is the sum of the control input and the total disturbance. The latter is composed of a nonlinear uncertain feedback term and an external bounded disturbance. Using the two boundary displacements as output signals, we design a disturbance estimator that does not use high gain. It is shown that the disturbance estimator can estimate the total disturbance in the sense that the estimation error signal is in $L^2[0,\infty)$. Using the estimated total disturbance, we design an observer whose state is exponentially convergent to the state of original system. Finally, we design an observer-based output feedback stabilizing controller. The total disturbance is approximately canceled in the feedback loop by its estimate. The closed-loop system is shown to be exponentially stable while guaranteeing that all the internal signals are uniformly bounded.

연구 동기 및 목표

• 비선형 내부 불확실성과 외부 유한한 외란으로 구성된 총 외란이 존재하는 노이만 경계 제어를 받는 1차원 불안정 파동 방정식의 지수 안정화를 다루는 것.
• 속도 측정이 어려운 점을 감안해, 출력 신호로 두 개의 변위 측정값(w(0,t) 및 w(1,t))만을 사용하는 출력 피드백 제어기를 설계하는 것.
• 내부 모델 불확실성과 외부 외란이 동시에 존재하는 상황에서도 닫힘 루프 시스템의 지수 안정성을 달성하는 것.
• 고이득 기법에 의존하지 않고 추정 오차가 $L^2[0,ty)$에 속하도록 보장하는 외란 추정기를 개발하는 것.
• 오직 출력 측정값만을 사용하여 전체 상태 피드백 제어를 가능하게 하는, 추정 외란을 기반으로 한 상태 관측기를 구축하는 것.

제안 방법

• 고이득을 사용하지 않고 총 외란 $F(t) = f(w, w_t) + d(t)$를 추정하기 위해 두 개의 PDE 기반 동역학을 설계한다.
• 측정된 변위 $w(0,t)$와 $w(1,t)$를 유일한 출력 신호로 사용하여 외란 추정기와 관측기를 구동한다.
• 외란 추정치와 배경스테핑 기반 관측기 설계를 조합함으로써, 상태 관측기의 상태가 진짜 시스템 상태로 지수적으로 수렴하도록 한다.
• 관측기 기반 출력 피드백 제어기를 구현하여 피드백 루프 내에서 추정된 총 외란을 상쇄시킨다.
• 변환된 시스템을 안정화하기 위해 배경스테핑 변환을 적용함으로써 상태 노름의 지수 감쇠를 보장한다.
• 리아푸노프 함수 및 에너지 추정을 사용하여, 닫힘 루프 시스템이 지수 안정적이며 모든 내부 신호가 균일하게 유계임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 변위 측정값만을 사용하여 경계 제어가 매칭된 총 외란이 존재하는 1차원 불안정 파동 방정식에 대해 지수 안정화를 달성할 수 있는가?
• RQ2 고이득을 사용하지 않고 추정 오차가 $L^2[0,ty)$에 속하도록 보장하는 외란 추정기를 설계할 수 있는가?
• RQ3 오직 변위 측정값만을 사용하여 진짜 시스템 상태로 지수 수렴하는 상태 관측기를 구축할 수 있는가?
• RQ4 제안된 관측기 기반 출력 피드백 제어기가 지수 안정성과 모든 내부 신호의 유계성을 보장하는가?
• RQ5 이 방법을 경계에 음의 댐퍼가 존재하는 시스템으로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 고이득 기법에 의존하지 않고도 총 외란 $F(t)$를 성공적으로 추정하였으며, 추정 오차는 $L^2[0,ty)$에 속한다.
• 상태 관측기는 관측기 상태가 진짜 시스템 상태로 지수적으로 수렴하도록 보장하며, 추정 오차는 시간이 지남에 따라 지수적으로 감쇠된다.
• 닫힘 루프 시스템은 지수 안정적이며, 상태 $(w, w_t)$의 노름이 지수적으로 감쇠되며, bound $\|(v(\cdot,t), v_t(\cdot,t))\|_{\mathbb{H}} \leq M_2 e^{-\mu_2 t} + 4M_1 e^{-\mu_1 t}$ 로 나타난다.
• 닫힘 루프 시스템 내 모든 내부 신호, 즉 제어 입력과 관측기 상태가 균일하게 유계이다.
• 슬라이딩 모드 제어를 사용하지 않아도 일반적인 유한한 외란에 대해 지수 안정화를 달성한다.
• 이 방법은 딜레르트 경계 제어와 매칭된 외란이 존재하는 불안정 파동 방정식과 같은 다른 PDE 시스템으로도 확장 가능하며, 오직 두 개의 변위 측정값만으로도 적용 가능하다.