[논문 리뷰] Output feedback exponential stabilization of a nonlinear 1-D wave equation with boundary input

Hua‐Cheng Zhou, George H. Weiss|arXiv (Cornell University)|2017. 06. 07.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 경계 입력이 있는 비선형 1차원 파동 방정식에 대해 내부 불확실성과 외부 교란이 동시에 존재하는 상황에서 출력 피드백을 이용한 지수적 안정화 방법을 제시한다. 두 개의 변위 측정값만을 사용하여 고이득을 사용하지 않는 교란 추정기와 상태 관측기를 설계함으로써, 역추적 기법과 능동 교란 제어(ADRC)를 통해 교란 제거와 지수적 안정성을 달성한다. 주요 기여는 최소한의 출력 측정값으로도 달성 가능한 폐루프 시스템의 지수적 안정성이다.

ABSTRACT

This paper develops systematically the output feedback exponential stabilization for a one-dimensional unstable/anti-stable wave equation where the control boundary suffers from both internal nonlinear uncertainty and external disturbance. Using only two displacement signals, we propose a disturbance estimator that not only can estimate successfully the disturbance in the sense that the error is in $L^2(0,\infty)$ but also is free high-gain. With the estimated disturbance, we design a state observer that is exponentially convergent to the state of original system. An observer-based output feedback stabilizing control law is proposed. The disturbance is then canceled in the feedback loop by its approximated value. The closed-loop system is shown to be exponentially stable and it can be guaranteed that all internal signals are uniformly bounded.

연구 동기 및 목표

• 1차원 불안정/역안정 파동 방정식에 대해 내부 비선형 불확실성과 외부 교란이 동시에 존재하는 상황에서 출력 피드백 지수적 안정화를 다루는 것.
• 고이득에 의존하지 않는 교란 추정기를 설계하여 전체 교란(F(t) = f(w(·,t),w_t(·,t)) + d(t))을 L²(0,∞) 의미에서 추정하는 것.
• 측정된 출력 신호와 추정된 교란을 기반으로 한 상태 관측기를 설계하여 진정한 시스템 상태로의 지수적 수렴을 달성하는 것.
• 관측기 기반 출력 피드백 제어 법칙을 개발하여 추정된 교란을 제거하고 폐루프 시스템의 지수적 안정성을 보장하는 것.
• 사용된 센서 수를 최소화하기 위해 두 개의 변위 신호(w(0,t) 및 w(1,t))만을 사용하는 것으로, 이는 거의 최소한의 측정값임을 보여주는 것.

제안 방법

• 고이득을 포함하지 않는 PDE 기반 교란 추정기를 사용하여 동적 보정기를 설계함으로써, 추정 오차의 피크 현상을 방지하고 강건성을 확보한다.
• 측정된 출력 w(0,t)와 w(1,t)를 기반으로 하여 전체 교란 F(t) = f(w(·,t),w_t(·,t)) + d(t)를 L²(0,∞) 의미에서 추정하는 교란 추정기를 구성한다.
• 측정된 출력과 추정된 교란을 사용하여 교란 추정기를 기반으로 한 상태 관측기를 설계하여 전체 상태 (w, w_t)를 지수적으로 재구성한다.
• 관측기 상태를 사용하여 역추적 기법을 통해 제어 법칙을 설계함으로써 실시간으로 추정된 교란을 상쇄하는 피드백 제어를 구현한다.
• 폐루프 시스템을 힐버트 상태 공간에서 분석하고, 리아푸노프 함수 및 에너지 추정을 통해 지수적 안정성을 증명한다.
• 이를 바탕으로 x=0에서 음의 감쇠가 존재하는 대체된 역안정 파동 방정식으로의 확장을 다루며, 동일한 최소한의 측정 집합을 사용하여 동일한 지수적 안정성을 달성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 내부 불확실성과 외부 교란이 동시에 존재하는 비선형 1차원 파동 방정식에 대해 두 개의 출력 신호만을 사용하여 지수적 안정화를 달성할 수 있는가?
• RQ2 고이득 기반 메커니즘에 의존하지 않으면서도 전체 교란에 대한 L²(0,∞) 추정 오차를 보장할 수 있는 교란 추정기를 설계할 수 있는가?
• RQ3 측정된 변위 신호와 추정된 교란만을 사용하여 진정한 시스템 상태로의 지수적 수렴을 달성할 수 있는 상태 관측기를 설계할 수 있는가?
• RQ4 교란 추정, 상태 관측, 그리고 역추적 제어의 조합이 폐루프 시스템의 지수적 안정성을 보장하는가?
• RQ5 제안된 방법은 경계에서 음의 스프링 대신 음의 감쇠가 존재하는 역안정 파동 방정식으로 확장 가능한가?

주요 결과

• 제안된 출력 피드백 제어 법칙 하에 폐루프 시스템은 모든 내부 신호가 균일하게 유계이며 지수적 안정성을 확보한다.
• 고이득을 사용하지 않는 교란 추정기는 전체 교란 F(t)를 L²(0,∞) 의미에서 성공적으로 추정한다.
• 모델링에 알려지지 않은 비선형성과 교란이 존재하는 상황에서도 상태 관측기는 진정한 상태로의 지수적 수렴을 달성한다.
• 두 개의 변위 측정값만을 사용하여도 제어 법칙이 지수적 안정성을 확보하며, 이는 필요한 센서 수에서 거의 최소임을 입증한다.
• f ≡ d ≡ 0 인 경우, 일시적 상태(v, v_t, z, z_t, W)는 μ′ > 0 인 지수적 감쇠율을 가지며 감쇠된다.
• 음의 감쇠가 x=0에 존재하는 역안정 파동 방정식으로의 확장도 성공적으로 수행되었으며, 동일한 최소한의 측정 집합을 사용하여 여전히 지수적 안정성이 확보된다.