[논문 리뷰] Overcoming exponential scaling with system size in Trotter-Suzuki implementations of constrained Hamiltonians: 2+1 U(1) lattice gauge theories

Dorota M. Grabowska, Christopher J. Kane외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 08. 05.

Quantum many-body systems인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2+1차원 U(1) 격자 gauge 이론과 같은 제약 조건이 붙은 해밀토니안의 트로터-수즈키 시뮬레이션에서 기하급수적 증가하는 게이트 수를 줄이기 위해, 웨이브드 매트릭스 구성 방식을 사용해 연산자 기저를 재정의하는 방법을 제시한다. 이 방법은 전역 합의 비다항 함수를 로그 스케일링된 항으로 변환함으로써 시스템 크기의 다항수준으로 자원 비용을 감소시킨다.

ABSTRACT

For many quantum systems of interest, the classical computational cost of simulating their time evolution scales exponentially in the system size. At the same time, quantum computers have been shown to allow for simulations of some of these systems using resources that scale polynomially with the system size. Given the potential for using quantum computers for simulations that are not feasible using classical devices, it is paramount that one studies the scaling of quantum algorithms carefully. This work identifies a term in the Hamiltonian of a class of constrained systems that naively requires quantum resources that scale exponentially in the system size. An important example is a compact U(1) gauge theory on lattices with periodic boundary conditions. Imposing the magnetic Gauss' law a priori introduces a constraint into that Hamiltonian that naively results in an exponentially deep circuit. A method is then developed that reduces this scaling to polynomial in the system size, using a redefinition of the operator basis. An explicit construction of the matrices defining the change of operator basis, as well as the scaling of the associated computational cost, is given.

연구 동기 및 목표

• 제약 조건이 붙은 해밀토니안의 트로터-수즈키 시뮬레이션에서 양자 자원의 기하급수적 증가 문제를 해결한다. 특히 주기적 경계 조건을 가진 U(1) 격자 gauge 이론을 대상으로 한다.
• 자기 골라스 법칙 제약 조건을 도입할 경우, 시스템 크기와 비례하는 커플링 정도(Degree of Coupling, DoC)가 발생하여 기하급수적 게이트 수를 유발함을 규명한다.
• 기저를 재정의함으로써 비다항 함수의 DoC를 O(N)에서 O(log N)으로 감소시키는 일반적인 방법을 개발한다.
• 이 기저 변환 과정이 물리적 일관성을 유지하면서도 양자 시뮬레이션의 회로 깊이와 게이트 수를 극적으로 감소시킴을 보여준다.
• 변환 행렬의 명시적 구성과 계산 비용을 제시하며, 큰 시스템에 대해서도 스케일이 가능함을 보여준다.

제안 방법

• 전역 합이 포함된 비다항 함수(예: 총 플럭스의余弦)에서 나타나는 연산자 대수를 재정의함으로써, 전역 합을 로그 스케일링된 항으로 표현하는 기저 전환을 도입한다.
• 낮은 차원의 행렬을 조합하는 '웨이빙'(weaving) 절차를 통해 재귀적으로 변환 행렬을 구성함으로써, O(N log N)의 계산 비용으로 효율적인 계산을 보장한다.
• 기저 전환을 자기 해밀토니안 항에 적용함으로써, 국소 플럭스 연산자 합의 비다항 함수를 포함하는 항의 DoC를 O(N)에서 O(log N)으로 감소시킨다.
• 원래 이차형이었던 전기 해밀토니안은 기저 전환 후 최대 O(N_p^2)개의 항을 가지게 되지만, 이 비용은 자기 항에서의 기하급수적 감소에 비해 무시할 만큼 작다.
• 스우즈키-트로터 분해를 사용해 시간 진동을 시뮬레이션함으로써, 이제는 DoC 감소로 인해 기하급수적 대신 다항수준의 게이트 스케일링이 가능해진다.
• 변환과 그 결과로 유도된 양자 회로에 대한 명시적 행렬 구성 및 스케일링 추정치를 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제약 조건이 붙은 해밀토니안의 트로터-수즈키 시뮬레이션에서 기하급수적 게이트 스케일링 문제를 연산자 기저 재정의로 완화할 수 있는가?
• RQ2 U(1) 격자 gauge 이론에서 전역 제약 조건이 유도하는 최대 커플링 정도는 얼마이며, 이는 양자 시뮬레이션 비용에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 비다항 함수(예: cos(∑Q_i))를 기하급수적 자원 오버헤드 없이 양자 컴퓨터에서 효율적으로 구현할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ4 DoC 감소를 가능하게 하는 변환 행렬의 계산 비용은 얼마이며, 이는 시스템 크기와 함께 효율적으로 스케일링 가능한가?
• RQ5 기저 전환이 물리적 이론의 내용을 유지하면서도 확장 가능한 양자 시뮬레이션을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 제안된 기저 재정의로 인해 비다항 함수의 커플링 정도가 O(N)에서 O(log N)으로 감소하여, 기하급수적 자원 스케일링이 다항수준 스케일링으로 전환된다.
• 2 qubits per operator를 가진 3×3 격자에서는 원래 기저가 O(10^5)개의 게이트가 필요로 하나, 웨이브드 기저는 O(10^2)개의 게이트로 감소한다.
• 4×4 격자에서는 원래 기저가 O(10^9)개의 게이트로 증가하지만, 웨이브드 기저는 O(10^2)개의 게이트를 유지하여 극적인 감소를 보인다.
• 변환 행렬은 O(N log N) 시간 내에 구성 가능하므로, 큰 시스템에 대해서도 이 방법이 스케일이 가능하다.
• 전기 해밀토니안의 복잡도 증가는 O(N_p^2 n_q^2) 이내로 제한되며, 자기 항의 기하급수적 감소에 비하면 무시할 만하다.
• 이 방법은 제약 조건이 붙은 해밀토니안의 시뮬레이션에서 기하급수적 자원 장벽을 돌파하여, 근접한 양자 장치에서 U(1) 격자 gauge 이론의 실현 가능한 양자 시뮬레이션을 가능하게 한다.