[논문 리뷰] Overconvergent relative de Rham cohomology over the Fargues-Fontaine curve

Arthur-César Le Bras|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 9인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbf{C}_p$ 위의 분리된 유한 콪형 스킴의 스킴에 대해, Fargues-Fontaine 곡선 위의 벡터(bundle)에 값을 갖는 초수렴 상대 de Rham 코homology 이론을 구축한다. 이는 반-에탈 주기층과 디칼라주 함수를 사용하여 $p$-진 호지 이론의 기하적 구조를 활용하며, Hyodo-Kato 코homology을 반-안정 형식 모델로 확장하고, Ayoub의 고체 해석적 모티브의 범주를 통해 Scholze의 추측을 실현한다.

ABSTRACT

We explain how to construct a cohomology theory on the category of separated quasi-compact smooth rigid spaces over $\mathbf{C}_p$ (or more general base fields), taking values in the category of vector bundles on the Fargues-Fontaine curve, which extends (in a suitable sense) Hyodo-Kato cohomology when the rigid space has a semi-stable proper formal model over the ring of integers of a finite extension of $\mathbf{Q}_p$. This cohomology theory factors through the category of rigid analytic motives of Ayoub.

연구 동기 및 목표

• 분리된 유한 콪형 스킴의 스킴에 대해, 반-안정 형식 모델의 경우 Hyodo-Kato 코homology을 일반화하는 코호몰로지 이론을 구축하는 것.
• 이 이론이 Fargues-Fontaine 곡선 위의 벡터(bundle)에 값을 갖도록 하는 것, 이는 $p$-진 호지 이론의 핵심 대상이다.
• Ayoub의 고체 해석적 모티브의 범주를 통해 코호몰로지 이론이 인수화됨을 보여, Scholze의 추측을 증명하는 것.
• Fargues-Fontaine 곡선의 기하적 프레임워크를 이용하여 기존의 $p$-진 코호몰로지 이론들을 통합하고 확장하는 것.
• $p$-진 기하학과 호지 이론의 맥락에서 초수렴 상대 de Rham 코호몰로지의 모티브적 해석을 제공하는 것.

제안 방법

• 분리된 유한 콱형 스킴의 스킴에 대해, $\mathbf{C}_p$ 위에서 정의된 코호몰로지 이론 $\mathcal{FF}$ 를 구축한다.
• 프로-에탈 주기층과 디칼라주 함수를 사용하여 $p$-진 코호몰로지 불변량을 Fargues-Fontaine 곡선 위의 벡터(bundle)와 연결한다.
• Ayoub의 고체 해석적 모티브 이론을 적용하여 코호몰로지 이론이 모티브의 범주를 통해 인수화됨을 보장한다.
• Fargues-Fontaine 곡선을 $p$-진 호지 이론의 기하적 모델로 활용하며, 그 몫 구조 $X = Y/\varphi^{\mathbb{Z}}$ 를 이용한다.
• 특정 $\mathcal{O}_K$ 위의 반-안정 형식 모델이 존재함을 통해 Hyodo-Kato 코호몰로지와의 호환성을 확립한다.
• 어드릭 스킴 $Y$ 위의 프로베니우스 작용 $\varphi$ 와 그 완비화를 사용하여, $\varphi^{\mathbb{Z}}$ 에 대한 몫을 통해 곡선 $X$ 를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 $\mathbf{C}_p$ 위의 고체 스킴에 대해, 반-안정 형식 모델의 경우 Hyodo-Kato 코호몰로지로 확장되는 상대 de Rham 코호몰로지 이론을 구축할 수 있는가?
• RQ2 Fargues-Fontaine 곡선은 $p$-진 호지 구조의 보편적 매개변수 공간으로서 어떤 의미를 갖는가?
• RQ3 코호몰로지 이론이 Ayoub의 고체 해석적 모티브의 범주를 통해 인수화될 수 있는가?
• RQ4 초수렴 상대 de Rham 코호몰로지와 Fargues-Fontaine 곡선의 기하학적 성질 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 이 구성은 Scholze의 $p$-진 코호몰로지의 모티브적 성격에 관한 추측을 어떻게 실현하는가?

주요 결과

• 논문은 Fargues-Fontaine 곡선 위의 벡터(bundle)에 값을 갖는 코호몰로지 이론 $\mathcal{FF}$ 를 구축한다.
• $\mathcal{FF}$ 는 $\mathcal{O}_K$ 위의 반-안정 형식 모델을 갖는 고체 스킴에 대해 Hyodo-Kato 코호몰로지를 확장한다.
• 코호몰로지 이론 $\mathcal{FF}$ 는 Ayoub의 고체 해석적 모티브의 범주를 통해 인수화된다.
• 이 구성은 Fargues-Fontaine 곡선을 통한 $p$-진 호지 이론의 기하적 실현을 제공한다.
• 코호몰로지 이론은 프로베니우스 작용과 곡선이 몫 구조 $Y/\varphi^{\mathbb{Z}}$ 로서의 구조와 호환된다.
• 결과적으로 Scholze의 추측, 즉 Fargues-Fontaine 곡선 위의 벡터(bundle)에 값을 갖는 모티브적 $p$-진 코호몰로지 이론의 존재에 대한 추측을 확인한다.