[논문 리뷰] Overdamped modes in Schwarzschild-de Sitter and a Mathematica package for the numerical computation of quasinormal modes

Aron Jansen|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 26.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 스펙트럼 방법을 사용하여 QNM 방정식을 이산화하고 그 결과로 생기는 일반화된 고유값 문제를 해결함으로써 블랙홀과 브레인의 수치적 Quasinormal Modes (QNMs)를 계산하기 위한 Mathematica 패키지를 소개한다. 주요 기여는 기존 문헌에서 간과되었던 슈바르츠실트-데시터 블랙홀에서 무한한 수의 순수 허수, 과다감쇠된 모드를 발견한 것으로, 이는 다양한 점점 가까이 다가오는 근사 및 결합된 방정식에 적용 가능한 효율적이고 일반적인 계산 방법을 제공한다.

ABSTRACT

We present a package for Mathematica that facilitates the numerical computation of the quasinormal mode (QNM) spectrum of a black hole/black brane. Requiring as input only the QNM equation(s), the application of a single Mathematica function will compute the spectrum efficiently, by discretizing the equation(s) and solving the resulting generalized eigenvalue equation. It is applicable to a large variety of black holes, independent of their asymptotics. The package comes fully documented and with several tutorials. Here we present a self-contained review of the method and consider several applications. We illustrate the method in the simplest case of scalar QNMs of a Schwarzschild black brane in anti-de Sitter. Then we go on to look at the scalar QNMs of the Schwarzschild black hole in de Sitter, in anti-de Sitter and in asymptotically flat spacetimes, finding a novel infinite set of purely imaginary modes in the first case. We also derive the QNM equations for a generic Einstein-Maxwell-scalar background and use these to compute the QNMs of the asymptotically anti-de Sitter Reissner-Nordstr\\"{o}m black brane, as a further illustration and check of the method.

연구 동기 및 목표

• 블랙홀과 브레인의 Quasinormal Modes (QNMs)를 계산하기 위한 일반적이고 사용자 友好的인 Mathematica 패키지를 개발하는 것, 이는 점점 가까이 다가오는 구조나 방정식의 복잡성에 관계없이 적용 가능하다.
• 스펙트럼 이산화를 통해 QNM 방정식을 일반화된 고유값 문제로 변환함으로써 QNM 스펙트럼의 효율적이고 정확한 수치 계산을 가능하게 하는 것.
• 특히 순수 허수(과다감쇠된) 모드를 포함한 이전에 간과되었던 Quasinormal Modes를 식별하고 분석하는 것, 특히 슈바르츠실트-데시터 블랙홀에서의 경우.
• 스칼라 변동에 대한 적용을 통해 슈바르츠실트-AdS, 슈바르츠실트-데시터, 그리고 점점 가까이 다가오는 평탄한 시공간에 대한 검증을 수행하고, AdS에서의 레이스너-노르트스트롬 블랙 브레인에 대한 적용을 포함하여 방법의 타당성을 입증하는 것.
• 연구자들이 중력 물리학과 헬로그래피 분야에서 교육적 목적과 고급 연구에 모두 활용할 수 있도록 완전한 문서화와 확장 가능한 도구를 제공하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 콜로케이션 기법을 사용하여 Quasinormal Mode 방정식을 이산화하고, 그 결과로 (A - ω²B)v = 0 형태의 일반화된 고유값 문제로 변환한다.
• 패키지는 QNM 방정식을 입력으로 받아들이며, 자동으로 결합된 시스템, 임의의 주파수 의존성, 다양한 경계 조건을 처리한다.
• 고정밀도와 효율성을 확보하기 위해 스펙트럼 방법을 적용하며, 이는 해가 매끄럽고 사건의 지평선 및 무한대에서 특이성을 보이는 문제에 특히 적합하다.
• 경계 조건은 시공간에 따라 사건의 지평선에서 들어오는 파동과 무한대에서의 적절한 점점 가까이 다가오는 행동(방출 또는 유한)을 강제로 적용하여 구현한다.
• 이 방법은 점점 가까이 다가오는 구조에 독립적이며, 점점 가까이 다가오는 평탄한, 데시터, 그리고 반데시터 시공간 모두에 적용 가능하다.
• 패키지는 튜토리얼, 완전한 문서화, 수치적 배경을 지원하여 복잡하거나 비해석적 해를 가진 경우에도 적합하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 슈바르츠실트-데시터 블랙홀에서 순수 허수 Quasinormal Modes가 존재하는가? 그들의 구조와 의미는 무엇인가?
• RQ2 일반적인 목적의 수치적 방법이 데시터와 반데시터 시공간을 포함한 다양한 점점 가까이 다가오는 근사에서 QNMs를 정확하게 계산할 수 있는가?
• RQ3 AdS에서의 레이스너-노르트스트롬 블랙 브레인의 QNM 스펙트럼은 알려진 유체역학적 모드와 고차 모드와 어떻게 비교되는가?
• RQ4 복잡한 결합이 있는 QNM 방정식의 일반화된 고유값 문제를 효율적으로 해결하는 데 있어 스펙트럼 이산화의 역할은 무엇인가?
• RQ5 이 방법은 고차 주파수 의존성 또는 결합된 방정식을 가진 시스템의 QNMs를 신뢰성 있게 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 4차원 슈바르츠실트-데시터 블랙홀의 스칼라 변동에서 순수 허수, 과다감쇠된 Quasinormal Modes로 구성된 무한한 집합이 발견되었으며, 이는 이전 문헌에서 보고된 바가 없다.
• ΛM² = 0.02일 때, 주요 l=1 모드의 주파수는 ωM = 0.26028785 - 0.09100254i이며, l=2 모드에는 하위 주요 모드 ωM = 0.42083979 - 0.26859762i 가 포함된다.
• 이 방법은 슈바르츠실트-데시터 블랙홀의 알려진 QNM 주파수를 매우 정밀하게 재현하며, 6차 WKB 결과와 일치하며, 새로운 허수 모드도 포함한다.
• Q/Qextr = 1/2 및 q/πT = 1.5일 때, AdS5 레이스너-노르트스트롬 블랙 브레인의 첫 번째 스핀-2 모드는 ω/πT = 4.5842653 - 4.5115101i이며, 고차 모드는 점점 더 큰 허수 부분을 보인다.
• 레이스너-노르트스트롬 블랙 브레인의 유체역학적 모드는 정확히 재현된다: 점착 모드 ω/πT = -0.29171230i, 음파 모드 ω/πT = 0.90170632 - 0.19067682i, 전하 모드 ω/πT = -0.76581370i.
• 일반 배경에서의 아인슈타인-맥스웰-스칼라 시스템에 대해 QNMs를 성공적으로 계산하였으며, 기존 결과와의 일관성을 확인하고 패키지의 강건성을 검증하였다.