[논문 리뷰] Overlapping non Matching Meshes Domain Decomposition Method in Isogeometric Analysis

Michel Bercovier, Ilya Soloveichik|arXiv (Cornell University)|2015. 02. 12.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 16인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 복잡한 기하 구조에서 PDE를 해결하고 'Chimera'-유형의 줌 인을 통해 局부 정밀 조절을 가능하게 하기 위해 등각 분석(IGA)에서 겹치는 비일치 메쉬 도메인 분할 방법(ASDDM)을 제안한다. 비일치하는 겹치는 부분으로 나누어진 도메인에 대해 추가 색소우 반복을 적용함으로써, 이 방법은 빠른 수렴성을 달성하고, 잘라낸 패치와 비일치 메쉬를 처리하며, 자연스럽게 병렬 처리가 가능하여 최소한의 기하 근사 오차로 대규모 3D 시뮬레이션을 효율적으로 수행할 수 있다.

ABSTRACT

One of the important aspects of IsoGeometric Analysis (IGA) is the strong link between Computer Aided Design and analysis. Two of IGA'a major challenge are the assembly of patches (Constructive Solid Geometry geometries made of Boolean primitives) and local refinement. In the present work we apply the Additive Schwarz Domain Decomposition on overlapping domains. To leverage the power of IGA we consider non matching meshes to solve PDEs on CSG assemblies. As a side effect also we deal with local refinement . As a first step we study a collection of simple two domains problems, using the software package GeoPDEs, all of them converged rapidly, even on very distorted domains. For local refinement we implement a Chimera type of zooming together with ASDDM iterations, and here again we get very attractive results. A last effect is that the additive methods are naturally parallelizable and thus can extend to large 3D problems. We give some examples of computations on multi-patch bodies. This new implementation of the DD methods brings many interesting problems such as: the definition of boundary conditions on trimmed patches, choice of blending operators on the intersections , optimization of the overlap size, choice of preconditioning to guarantee convergence ( as we do not have a maximum principle here.)

연구 동기 및 목표

• 등각 분석에서 부울 연산(예: CSG)으로 구성된 복잡한 기하 구조에서 PDE를 해결하는 데 도전하는 것.
• T-스플라인과 계층적 B-스플라인의 제약을 극복하기 위해 전역 메쉬 재정의 없이 IGA에서 국부 정밀 조절(줌 인)을 가능하게 하는 것.
• IGA의 정확한 기하 표현 및 고차 다항식 기저 함수와 호환되는 비일치하고 겹치는 도메인 분할 프레임워크를 개발하는 것.
• 추가 색소우 방법을 사용하여 대규모 3D 문제의 확장성과 병렬 처리를 보장하는 것.
• 잘라낸 패치에서 경계 조건을 어떻게 적용할 수 있는지와 수렴에 최적인 겹침 크기의 영향을 조사하는 것.

제안 방법

• 비일치하는 메쉬를 가진 겹치는 부분으로 나누어진 도메인에 대해 추가 색소우 도메인 분할 방법(ASDDM)을 적용하여, 겹치는 표면을 통해 부분 해를 연결한다.
• 정확한 기하 표현과 해의 고차 근사화를 위해 등각 분석에서 B-스플라인 기저 함수를 사용한다.
• 반복적인 ASDDM 단계 동안 겹치는 부분 간에 해 데이터를 전달하기 위해 추적 연산자(정확한 및 보간 기반)를 사용한다.
• 각 부분 도메인을 별도의 프로세서에서 독립적으로 풀고 반복 간에 경계 데이터를 동기화하는 병렬 알고리즘을 구현한다.
• 표준 PDE(예: 푸아송 방정식)와 다중 패치 및 겹치는 도메인에서의 탄성 문제에 이 방법을 적용한다.
• 약한 형태와 갈레르킨 방법을 사용하여 변분 형식을 설정하고, 수렴이 이루어질 때까지 ASDDM을 반복적으로 해를 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등각 분석에서 복잡한 CSG 기반 기하 구조에서 겹치는 비일치 메쉬 도메인 분할이 PDE에 대해 빠른 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 전역 매개변수 구조를 변경하지 않고 IGA에서 국부 정밀 조절(줌 인)을 위한 ASDDM 접근법은 얼마나 효과적인가?
• RQ3 겹침 크기와 B-스플라인 차수는 수렴 속도와 해의 정확도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 비일치하는 겹치는 도메인에서 잘라낸 패치에 디리클레 경계 조건을 정확하게 적용하는 방법은 무엇인가?
• RQ5 다중 코어 아키텍처에서 병렬화된 ASDDM 구현의 확장성과 성능 향상은 어떠한가?

주요 결과

• ASDDM 방법은 테스트된 모든 2차원 및 3차원 문제, 심지어 극도로 왜곡된 도메인에서도 빠른 수렴성을 보였다.
• 국부 정밀 조절을 위한 'Chimera' 줌 인을 통해, 이 방법은 전역 메쉬 재정의 없이 정밀 조절 영역에만 새로운 자유도를 도입하였다.
• 8개의 부분 도메인을 가진 다중 패치 도메인에서 탄성 문제에 대해 4코어 컴퓨터에서 병렬 구현이 4배의 속도 향상을 달성하였다.
• B-스플라인 차수(최대 4차까지)에 관계없이 수렴 속도가 우수했으며, 정확도에 심각한 열화가 없었다.
• 자유도의 수는 차원과 다항식 차수에 따라 급격히 증가하여 대규모 문제에서 도메인 분할의 필요성을 강조하였다.
• 이 방법은 자연스럽고 확장 가능한 병렬 처리가 가능하여 대규모 3D 문제에 적합함을 입증하였다.