[논문 리뷰] Overpseudoprimes, and Mersenne and Fermat numbers as primover numbers

Vladimir Shevelev, Gilberto García-Pulgarín외 2명|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 04.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 복합수 $n$의 모든 $d>1$인 약수 $d$에 대해 곱법적 순서 $|b|_d$ 가 일정한 성질을 갖는, 표준 페스튜프라임보다 더 강력한 강력한 페스튜프라임의 하위 클래스인 기수 $b$에 대한 오버페스튜프라임을 도입한다. 이 논문은 모든 복합 메르센 수 $2^p - 1$과 위페리히 소수의 제곱수가 기수 2에 대해 오버페스튜프라임임을 증명하며, 특정 수론적 조건 하에서 일반화된 페르마수와 메르센 수가 기수 $b$에 대해 프림오버임을 규명한다.

ABSTRACT

We introduce a new class of pseudoprimes-so called "overpseudoprimes to base $b$", which is a subclass of strong pseudoprimes to base $b$. Denoting via $|b|_n$ the multiplicative order of $b$ modulo $n$, we show that a composite $n$ is overpseudoprime if and only if $|b|_d$ is invariant for all divisors $d>1$ of $n$. In particular, we prove that all composite Mersenne numbers $2^{p}-1$, where $p$ is prime, are overpseudoprime to base 2 and squares of Wieferich primes are overpseudoprimes to base 2. Finally, we show that some kinds of well known numbers are overpseudoprime to a base $b$.

연구 동기 및 목표

• 표준 페스튜프라임보다 더 강력한 새로운 페스튜프라임 클래스—기수 $b$에 대한 오버페스튜프라임—을 정의하고 특성화하기.
• 복합수 $n$이 기수 $b$에 대해 오버페스튜프라임이 되기 위한 필요충분조건을, $n$을 나누는 모든 $d>1$에 대해 $|b|_d$ 가 일정함을 바탕으로 설정하기.
• 모든 복합 메르센 수 $2^p - 1$과 위페리히 소수의 제곱수가 기수 2에 대해 오버페스튜프라임임을 증명하기.
• 기수 $b>1$로 일반화하고, 예를 들어 일반화된 페르마수와 메르센 수와 같은 수의 집합이 기수 $b$에 대해 프림오버임을 규명하기.
• 대수적 수론 도구를 활용하여 원분 집합, 곱법적 순서, 프림오버/오버페스튜프라임 성질 간의 관계를 탐색하기.

제안 방법

• 기수 $b$에 대한 오버페스튜프라임을 복합수 $n$으로 정의하여, $n$을 나누는 모든 $d>1$에 대해 $|b|_d$ 가 일정함을 보장하며, 이를 기수 $n$ 모듈로에서 2의 원분 집합과 연결한다.
• 원분 집합 $C_s$ 와 그 크기 $|C_s| = |2|_{n / ext{gcd}(n,s)}$ 의 구조를 이용하여, 기수 2에 대한 오버페스튜프라임을 위한 조건 $n = r(n) \cdot |2|_n + 1$ 을 유도한다.
• 모든 $d>1$ 가 $n$ 을 나눌 때 $|2|_d = |2|_n$ 이면 $n$ 이 기수 2에 대해 오버페스튜프라임임을 증명하며, 곱법적 순서와 최대공약수의 성질을 활용한다.
• 원분 다항식 $\Phi_n(b)$ 와 그 $n$ 과의 최대공약수를 이용하여 프림오버 수를 규명한다.
• $\gcd(n, \Phi_n(b)) = 1$ 이나 $p$ (여기서 $p$ 는 $n$ 의 최대 소인수) 인 조건을 이용하여 프림오버 수를 특성화한다.
• 일반화된 페르마수와 메르센 수에 대한 기존 결과를 활용하여, $\gcd(p, b-1) = 1$ 이나 $n$ 이 소수일 경우에 일반화된 페르마수와 메르센 수가 기수 $b$ 에 대해 프림오버임을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 복합수 $n$ 이 기수 $b$ 에 대해 오버페스튜프라임임을 특성화할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 왜 모든 복합 메르센 수 $2^p - 1$ 이 기수 2에 대해 오버페스튜프라임인가?
• RQ3 일반화된 페르마수 $b^{2^n} + 1$ 이 기수 $b$ 에 대해 프림오버임이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 일반화된 메르센 수 $\frac{b^p - 1}{b - 1}$ 이 기수 $b$ 에 대해 프림오버임이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 원분 다항식과 곱법적 순서는 프림오버 및 오버페스튜프라임 성질과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 홀수 복합수 $n$ 이 기수 2에 대해 오버페스튜프라임임은 $n$ 을 나누는 모든 $d>1$ 에 대해 $|2|_d = |2|_n$ 이 성립함과 동치이다.
• 모든 복합 메르센 수 $M_p = 2^p - 1$ (여기서 $p$ 는 소수) 는 기수 2에 대해 오버페스튜프라임이다.
• 위페리히 소수의 제곱수는 기수 2에 대해 오버페스튜프라임이다.
• 짝수 $b$ 를 갖는 일반화된 페르마수 $F_n(b) = b^{2^n} + 1$ 는 기수 $b$ 에 대해 프림오버이다.
• 일반화된 메르센 수 $M_p(b) = \frac{b^p - 1}{b - 1}$ 는 $\gcd(p, b - 1) = 1$ 이면 기수 $b$ 에 대해 프림오버이다.
• $N = \Phi_{pq}(b)$ 이고 $q < p$ 가 소수일 때, $N$ 이 기수 $b$ 에 대해 프림오버임은 $p \nmid N$ 이며, 그렇지 않으면 $N/p$ 가 기수 $b$ 에 대해 프림오버이다.