[논문 리뷰] Overview of Blakley's Secret Sharing Scheme

Alireza Shamsoshoara|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 09.

Cryptography and Data Security참고 문헌 9인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 블랙리의 체계를 이용한 기하적 접근법을 제시하며, 비밀을 t차원 공간 내의 한 점으로 표현하고 초평면을 통해 공유함으로써 비밀을 복원하는 방법을 설명한다. 비밀은 소수 모듈로에서 선형 방정식의 연립방정식을 풀어 복원되며, MATLAB GUI를 통한 구현과 성능 분석을 통해 더 큰 소수에서 시간이 지수적으로 증가하는 경향을 보였다.

ABSTRACT

In this report, I explained the problem of Secret Sharing Scheme. Then based on the definition of the problem, two old methods: Blakley's Secret Sharing Scheme and Shamir's Secret Sharing are introduced. However, we explained the details of the first one since it's the topic of this work. Blakley's method has an application in distributing a key between different parties and reconstructing the key based on each share. However, this method is not efficient enough because of too large space states. Also, we tried to simulate a scenario for spreading a key between some users and tried to reconstruct the first key using Matlab in a graphical user interface.

연구 동기 및 목표

• 다수의 당사자 간에 비밀을 분배하고 복원할 수 있도록 블랙리의 비밀 공유 체계를 기하학적 임계값 체계로서 설명하기.
• 구체적인 예제와 MATLAB 기반 시뮬레이션을 통해 블랙리 방법의 실현 가능성과 한계를 입증하기.
• 특히 소수 모듈로 크기가 해법 시간에 미치는 영향을 분석하여 체계의 계산 성능을 평가하기.
• 블랙리의 체계를 샤미어의 체계와 비교하여 공간 효율성 부족과 광범위한 구현 부족을 강조하기.
• 최근 블랙리의 기하적 접근법이 비밀 이미지 공유 및 임계값 RSA 서명에 어떻게 적용되고 있는지 탐구하기.

제안 방법

• 비밀은 t차원 공간 내의 점 (x₀, y₀, z₀) 으로 표현되며, 비밀 값은 x₀로 간주된다.
• 각 주주에게는 소수 p 모듈로에서 z ≡ ax + by + c mod p 형태의 초평면 방정식이 무작위로 할당된다.
• 비밀은 계수 행렬 C와 상수 벡터 y에 대해 Cx ≡ y mod p 형태의 선형 방정식 연립식을 풀어 복원된다.
• 해는 갈로아 체 GF(p)에서 행렬 C의 역행렬을 사용하여 계산되며, 이때 det(C) ≠ 0 mod p 여야 한다.
• 사용자가 소수 p, 주주 수, 임계값 t, 비밀 키 등을 입력할 수 있도록 MATLAB GUI를 구현하였다.
• 성능 평가를 위해 유한체 위에서 선형 시스템을 푸는 데 gflineq 함수를 사용하고, 계산 시간을 기록하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다수의 당사자 간에 비밀을 어떻게 분배할 수 있을까? 단, 비밀을 복원하기 위해서는 최소한의 주주 수가 필요하다.
• RQ2 블랙리의 기하적 비밀 공유 체계는 샤미어의 체계와 비교해 복잡도와 공간 효율성 측면에서 어떤 상충 관계를 가지는가?
• RQ3 소수 모듈로 크기 p가 블랙리 체계에서 선형 시스템을 풀기 위해 소요되는 시간에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 MATLAB의 그래픽 사용자 인터페이스를 통해 블랙리 체계를 효과적으로 구현하고 시각화할 수 있는가?
• RQ5 최근 블랙리의 방법은 비밀 이미지 공유나 임계값 서명 등 현대 암호학에서 어떤 실용적 응용을 가지는가?

주요 결과

• 소수 73 모듈로에서 세 개의 초평면 방정식 연립식을 풀었을 때 비밀 키 x₀ = 42로 성공적으로 복원되었다.
• 이 체계는 공간 효율성이 떨어지며, 각 주주가 전체 초평면 방정식을 저장해야 하며, 비밀이 초평면 내에 위치해 있음을 암시하는 정보 유출로 인해 완전한 비밀성 확보가 어려운 점이 있다.
• 소수 모듈로 크기가 증가함에 따라 선형 시스템을 푸는 데 소요되는 계산 시간이 지수적으로 증가하는 경향을 시뮬레이션을 통해 입증하였다. 첫 100개의 소수에 대해 분석하였다.
• MATLAB GUI 구현을 통해 사용자가 매개변수를 상호작용적으로 설정하고 실시간으로 해를 계산할 수 있어 성능 벤치마킹이 가능해졌다.
• 이론적으로 타당성은 있지만, 비효율성으로 인해 실용적 적용이 제한되어 있어 샤미어의 체계보다 더 널리 보급되지 못했다.
• 최근 응용 사례로는 비밀 이미지 공유 및 임계값 RSA 서명이 있으며, 블랙리의 기하학적 기반을 다른 기법과 융합하여 기능을 향상시키는 데 활용되고 있다.