[논문 리뷰] p-adic boundary values

Peter Schneider, Jeremy Teitelbaum|ArXiv.org|1999. 01. 28.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 16인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 p진 대칭 공간 위의 정칙 표현의 쌍대와 GL(n,K)에서 국소 해석 함수로 구성된 주요 시리즈 표현 사이의 p진 경계값 변환—적분 변환—을 구축한다. 이러한 변환의 상을 특정 전이 성질과 초기하형 편미분방정식계를 만족하는 함수들의 공간으로 특성화하며, 이는 SL(2,K)에서의 모리타의 결과를 일반화하고 p진 대칭 공간의 de Rham 코homology 결과를 p진 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

We study in detail certain natural continuous representations of G = GL(n,K) in locally convex vector spaces over a locally compact, non-archimedean field K of characteristic zero. We construct boundary value maps, or integral transforms, between subquotients of the dual of a ``holomorphic'' representation coming from a p-adic symmetric space, and ``principal series'' representations constructed from locally analytic functions on G. We characterize the image of each of our integral transforms as a space of functions on $G$ having certain transformation properties and satisfying a system of partial differential equations of hypergeometric type. This work generalizes earlier work of Morita, who studied this type of representation of the group SL(2,K). It also extends the work of Schneider-Stuhler on the deRham cohomology of p-adic symmetric spaces. We view this work as part of a general program of developing the theory of such representations.

연구 동기 및 목표

• 비아르키메데스 체 K 위의 국소 볼록 벡터 공간에서 GL(n,K)의 연속 표현 이론을 일반적으로 개발하는 것.
• 정칙 표현의 쌍대의 부분몫표현과 주요 시리즈 표현 사이의 적분 변환(경계값 맵)을 구축하는 것.
• 이 변환의 상을 G 위의 함수 공간으로 특성화하며, 특정 전이 성질과 초기하형 편미분방정식계를 만족하는 것.
• 모리타의 이전 결과—SL(2,K)에서의 결과—를 일반선형군 GL(n,K)으로 일반화하는 것.
• Schneider-Stuhler의 p진 대칭 공간에 대한 de Rham 코hom로지 프레임워크를 경계값 이론을 포함하도록 확장하는 것.

제안 방법

• 특성 0인 비아르키메데스 체 K 위의 국소 볼록 벡터 공간을 사용하여 GL(n,K)의 표현을 구성하는 것.
• p진 대칭 공간을 통해 정칙 표현을 정의하고, 그 쌍대를 고려하는 것.
• 정칙 표현의 쌍대에서 주요 시리즈 표현으로 향하는 적분 변환으로서 경계값 맵을 도입하는 것.
• G 위의 국소 해석 함수를 사용하여 주요 시리즈 표현을 구성하는 것.
• 변환의 상을 분석하기 위해 초기하형 편미분방정식계를 유도하는 것.
• p진 해석학과 표현 이론의 기법을 적용하여 상 공간을 특성화하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 GL(n,K)에서 정칙 표현에서 주요 시리즈 표현으로 향하는 p진 경계값 맵의 상의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ2 상 함수들의 전이 성질이 G 위의 군 작용과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 p진 설정에서 적분 변환의 상을 특성화하는 편미분방정식계는 무엇인가?
• RQ4 이 구성은 모리타의 SL(2,K)에서의 결과를 어떻게 GL(n,K)로 일반화하는가?
• RQ5 이 경계값 이론은 p진 대칭 공간의 de Rham 코homology 프레임워크를 어떻게 확장하는가?

주요 결과

• 각 경계값 맵의 상은 군 작용에 대해 특정 전이 성질을 만족하는 G 위의 함수 공간으로 정확히 특성화된다.
• 이 상 함수들이 초기하형 편미분방정식계를 만족한다는 것이 입증된다.
• 이 구성은 모리타의 SL(2,K) 결과를 고계수 경우인 GL(n,K)로 일반화한다.
• 경계값 맵은 p진 대칭 공간 위의 정칙 표현과 주요 시리즈 표현 사이의 다리를 놓는다.
• 이 결과는 경계값 구조를 포함함으로써 p진 대칭 공간의 de Rham 코hom로지 이론을 확장한다.
• 이 방법은 적분 변환과 PDE를 통해 p진 표현을 연구하는 데 새로운 프레임워크를 수립한다.