[논문 리뷰] p-adic deformation of graph cycles

Xuanyu Pan|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대수다양체의 자기동형사상에 대한 $p$-진 변형 이론을 수립하며, 자기동형사상이 코homology에 Hodge 유형의 연산자로 작용하고 다양체가 무한소 Torelli 정리 조건을 만족할 경우, 그 자기동형사상이 윌링 링 위의 형식적 자기동형사상으로 유일하게 올라간다는 것을 증명한다. 주요 결과는 크리스탈린 코homology를 사용하여 고전적 변형 이론을 $p$-진 설정으로 일반화하며, 코homology 위에서 자기동형사상군의 작용의 충실성에 대한 기준을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we show that the infinitesimal Torelli theorem implies the existence of deformations of automorphisms. In the first part, we use Hodge theory and deformation theory to study the deformations of automorphisms of complex projective manifolds. In the second part, we use crystalline cohomology to explore the p-adic analogues of the first part, which generalizes a result of Berthelot and Ogus. The study of the deformations of automorphisms also provides criterions characterizing when the action of the automorphism group of a variety on its cohomology is faithful.

연구 동기 및 목표

• 크리스탈린 코homology를 사용하여 복소수 설정에서의 고전적 자기동형사상 변형 이론을 $p$-진 설정으로 확장한다.
• 자기동형사상이 코homology에 작용하는 방식에 기반하여 $W(k)$ 위로의 올림을 위한 기준을 설정한다.
• Berthelot과 Ogus의 $p$-진 변형 결과를 다양체의 자기동형사상으로 일반화한다.
• $\ell$-진 및 크리스탈린 코homology 위에서 자기동형사상군 작용의 충실성에 대한 코homological 기준을 제공한다.
• 코homology에서 Hodge 필터링의 보존이 자기동형사상의 전반적인 $p$-진 변형 존재성과 어떻게 연결되는지 밝힌다.

제안 방법

• 복소수 경우의 de Rham 코homology를 대체하여, $p$-진 변형을 연구하기 위해 크리스탈린 코homology를 사용한다.
• Hodge 필터링과 de Rham 및 크리스탈린 코homology 사이의 비교 동형사상에 의해 고장 맵을 구성한다.
• Grothendieck의 존재 정리를 적용하여 형식적 자기동형사상 $\widehat{X}$ 위에서 $W(k)$ 위의 대수적 자기동형사상으로 올린다.
• $\rho(g_n)_q$를 $\mathrm{H}^1(X_0, g_0^*T_{X_0/k}) \otimes_k (\pi^{n+1})$ 내의 고장 클래스의 구성요소로 식별한다.
• $\widehat{\Psi}_n$의 단사성을 이용하여 Hodge 필터링이 보존될 경우 고장이 사라진다는 것을 유추한다.
• 결국 $\mathrm{H}_{\mathrm{cris}}^m(g_0)$가 Hodge 필터링을 보존하므로 $\rho(g_n)_q = 0$, 즉 $ob(g_n) = 0$ 임을 결론짓는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특성가 양의 완전체 위의 다양체에 대한 자기동형사상이 왜일링 링 $W(k)$ 위의 자기동형사상으로 올라갈 수 있는가?
• RQ2 크리스탈린 코homology에서 Hodge 필터링의 보존이 자기동형사상의 $p$-진 변형 존재성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 무한소 Torelli 정리를 사용하여 $p$-진 설정에서 자기동형사상의 변형을 보장할 수 있는가?
• RQ4 어떤 코homological 기준이 $\ell$-진 또는 크리스탈린 코homology 위에서 자기동형사상군 작용의 충실성을 보장하는가?
• RQ5 자기동형사상의 유한 차수와 $p$-진 올림 및 코homological 자명성 간의 상호작용은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 특성가 양의 완전체 $k$ 위의 다양체 $X_0$에 대한 자기동형사상 $g_0$는 $\mathrm{H}_{\mathrm{cris}}^m(g_0)$가 Hodge 필터링을 보존하고 $X_0$가 차수 $m$의 무한소 Torelli 정리를 만족할 경우, $W(k)$ 위의 자기동형사상으로 올라간다.
• 모듈로 $W_{n+1}$로의 $g_n$ 올림에 대한 고장이 사라지는 것은, 코homology에 유도된 사상이 Hodge 필터링을 보존할 때 정확히 발생하며, 이는 $\rho(g_n)_q$의 소멸을 통해 보여진다.
• 형식 스킴 $\widehat{X}$ 위의 형식적 자기동형사상 $\lim_{\leftarrow} g_n$은 Grothendieck의 존재 정리를 통해 $W(k)$ 위의 유일한 대수적 자기동형사상으로 유도된다.
• 만약 $l \neq \mathrm{char}(k)$일 때 $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(g_0, \mathbb{Q}_l) = \mathrm{Id}$ 이면, $g_0$는 $W(k)$ 위의 자기동형사상으로 올라간다. 특히 $g_0$가 유한 차수를 가질 경우에 해당된다.
• $\mathrm{Aut}(X_0)$의 $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(X_0, \mathbb{Q}_l)$ 위에서의 작용의 충실성은, 일반성 섹션 $X_K$에 대한 $\mathrm{H}_{\text{ét}}^m(X_K, \mathbb{Q}_l)$ 위에서의 작용의 충실성과 올림 조건 하에서 유도된다.
• 이 결과는 Berthelot과 Ogus의 $p$-진 변형 작업을 사이클에서 자기동형사상으로 확장함으로써 일반화되었으며, 올림 기준으로 Hodge 유형 조건을 사용한다.