[논문 리뷰] $p$-adic families of diagonal cycles

Henri Darmon, Víctor Rotger|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 모듈러 곡선 타워의 삼중곱 위에서 대각 사이클로부터 삼변수 코homology 클래스의 가중치를 구성하고, 페리노-루아의 Λ-adic 조정자에 의한 영상으로 삼중곱 p-진 L-함수를 실현하는 상호법칙을 증명한다. 이 구성은 일반화된 카토 클래스를 보간하고 이전의 히다 가중치 가중치와 p-진 L-함수 연구를 확장한다.

ABSTRACT

This note provides the construction of a three-variable family of cohomology classes arising from diagonal cycles on a triple product of towers of modular curves, and proves a reciprocity law relating it to the three variable triple-product $p$-adic $L$-function associated to a triple of Hida families by means of Perrin-Riou's $Λ$-adic regulator.

연구 동기 및 목표

• 모듈러 곡선 타워의 삼중곱 위에서 대각 사이클로부터 유래한 삼변수 코homology 클래스를 구성한다.
• 이러한 코homology 클래스와 세 개의 히다 가중치에 관련된 삼중곱 p-진 L-함수를 연결하는 상호법칙을 수립한다.
• 왜곡된 대각 매핑을 통해 매개변수 공간을 한 차원에서 세 차원으로 확장함으로써 이전의 일변수 가중치 가중치 구성의 일반화를 시도한다.
• 이 가중치 가중치의 고차수 및 크리스탈린 특수화가 [DR14]에서 정의된 일반화된 카토 클래스를 보간함을 보여준다.
• 페리노-루아의 Λ-adic 조정자를 사용하여 삼중곱 p-진 L-함수의 코homological 해석을 제공한다.

제안 방법

• X_r = X_1(Mp^r)에 대해 $X_r^3$에서 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$-오빗을 갖는 $(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})^2$ 내의 원시 행 트리플의 왜곡된 대각 매핑을 사용하여 사이클의 가중치를 구성한다.
• 이 사이클들을 통해 호환성 있는 갈루아 코homology 클래스의 체계를 정의하며, 이는 세 개의 무게 공간을 포함하는 전역 $\Lambda$-adic 코homology 클래스로 패ckaging된다.
• 매개변수 공간 위에서 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$의 작용을 이용하여 사이클 구성과 히다 가중치 및 p-진 모듈러 형식을 연결한다.
• 페리노-루아의 $\Lambda$-adic 조정자를 적용하여 $\Lambda$-adic 코homology 클래스를 삼중곱 p-진 L-함수로 매핑한다.
• 고차수 및 크리스탈린 점에서의 특수화를 분석하여, [DR14]에서의 일반화된 카토 클래스와의 호환성을 보여준다.
• 디외도니 모듈러 이론과 $\Lambda$-adic 갈루아 표현 이론을 활용하여 코homological 자료의 p-진 보간을 다룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모듈러 곡선의 삼중곱 위에서 대각 사이클로부터 삼변수 코homology 클래스의 가중치를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 코homology 클래스는 고차수 및 크리스탈린 설정에서 알려진 클래스들, 예를 들어 일반화된 카토 클래스로 어떻게 특수화되는가?
• RQ3 정확한 상호법칙이 존재하는가? 이는 Λ-adic 조정자를 통해 이 가중치를 삼중곱 p-진 L-함수와 연결한다.
• RQ4 왜 이전의 일변수 구성([DR17])은 전체 이차원 매개변수 공간을 포괄하지 못하며, 이 새로운 구성은 이를 어떻게 해결하는가?
• RQ5 대각 사이클은 삼중곱 설정에서 기존의 Λ-adic 코호몰로지 클래스 구성에 대해 보완적인 시각을 제공하는가?

주요 결과

• 논문은 $X_r^3$ 위에서 대각 사이클로부터 유래한 삼변수 코호몰로지 클래스의 가중치를 구성한다. 이는 $\mathrm{SL}_2(\mathbf{Z}/p^r\mathbf{Z})$-오빗을 갖는 원시 행 트리플의 공간에 의해 매개변수화된다.
• 이 가중치 가중치는 고차수 및 크리스탈린 특수화에서 [DR14]에서 정의된 일반화된 카토 클래스를 보간함을 보여준다.
• 상호법칙이 확립되어, 삼중곱 p-진 L-함수가 페리노-루아의 조정자를 통해 Λ-adic 코호몰로지 클래스의 영상임을 증명한다.
• 이전 연구의 차원 제한 문제를 해결하기 위해 이는 이차원 매개변수 공간을 실현함으로써, [DR17]에서의 일차원 제한을 수정한다.
• 상호법칙은 Λ-adic 조정자가 코호몰로지 클래스에 적용되었을 때, 오일러 인자와 정규화 항을 포함한 인자까지의 p-진 L-함수를 산출함으로써 검증된다.
• 결과적으로 삼중곱 p-진 L-함수의 코호몰로지 실현이 이루어지며, 오일러 시스템과 스타크-히그너 포인트의 프레임워크를 고차수 설정으로 확장한다.