[논문 리뷰] $p$-adic Gross-Zagier formula at critical slope and a conjecture of Perrin-Riou

Kâzım Büyükboduk, Robert Pollack외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 20.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 32인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 $p$-분할되는 허수 정수환에서 $p$-일반 신형식 $f$의 임계 기울기 $p$-정규화에 대해 $p$-진 Gross–Zagier 공식을 수립한다. $\mathscr{A}$-adic 가중치와 Nekovář의 $p$-진 높이 쌍형식을 사용하여, 분석적 랭크가 1인 타원곡선의 경우 Perrin-Riou의 추측을 검증한다.

ABSTRACT

Let $p$ be an odd prime. Given an imaginary quadratic field $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-D_K})$ where $p$ splits with $D_K>3$, and a $p$-ordinary newform $f \in S_k(Γ_0(N))$ such that $N$ verifies the Heegner hypothesis relative to $K$, we prove a $p$-adic Gross-Zagier formula for the critical slope $p$-stabilization of $f$ (assuming that it is non-$θ$-critical). In the particular case when $f=f_A$ is the newform of weight $2$ associated to an elliptic curve $A$ that has good ordinary reduction at $p$, this allows us to verify a conjecture of Perrin-Riou. The $p$-adic Gross-Zagier formula we prove has applications also towards the Birch and Swinnerton-Dyer formula for elliptic curves of analytic rank one.

연구 동기 및 목표

• 허수 정수환에서 $p$가 분할되는 상황에서 $p$-일반 신형식 $f$의 임계 기울기 $p$-정규화에 대해 $p$-진 Gross–Zagier 공식을 수립한다.
• 분석적 랭크가 1인 타원곡선에 관하여 $p$-진 높이 쌍형식과 $p$-진 $L$-함수에 관한 Perrin-Riou의 추측을 검증한다.
• 반타성 조건을 가정하지 않고도 타원곡선에 대해 Birch와 Swinnerton-Dyer 공식의 $p$-부분을 증명한다.
• 분석적 랭크가 1이라는 가정 하에 $f_A$에 관련된 두 개의 $p$-진 $L$-함수를 사용하여 $A(\mathbb{Q})$ 내의 무한 순서 점을 구성한다.

제안 방법

• 저자들은 $(\varphi,\Gamma_{\text{cyc}})$-모듈과 콜레먼 가중치 위의 세일머 복합체를 사용하여 $\mathscr{A}$-adic 순환 높이 쌍형식을 구성한다.
• 그들은 $p$-진 가중치에서 일반화된 히그너 점을 정의하고, 명시적 상호법칙을 통해 베일린스키-카토 클래스와 연관시킨다.
• 이 방법은 $p$-진 $L$-함수의 보간과 Perrin-Riou의 큰 로그 맵을 사용하여 $p$-진 $L$-값과 $p$-진 높이를 연결하는 데 의존한다.
• 증명은 $p$-진 $L$-함수의 인수분해와 Nekovář의 $p$-진 높이가 타원곡선의 $p$-진 높이와 비교되는 데 기반한다.
• 핵심 기술 도구는 $\mathscr{A}$-adic Gross–Zagier 공식으로, 이는 $p$-진 $L$-함수의 도함수와 히그너 점의 $p$-진 높이를 연결한다.
• 저자들은 $p$-진 $L$-함수의 도함수와 Nekovář 높이 쌍형식, 그리고 베일린스키-카토 클래스의 로그 사이의 공식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허수 정수환에서 $p$가 분할되는 상황에서 $p$-일반 신형식의 임계 기울기 $p$-정규화에 대해 $p$-진 Gross–Zagier 공식이 성립하는가?
• RQ2 분석적 랭크가 1인 타원곡선에 대해 $p$-진 높이 쌍형식의 비퇴화성에 관한 Perrin-Riou의 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ3 반타성 조건을 가정하지 않고도 타원곡선에 대해 Birch와 Swinnerton-Dyer 공식의 $p$-부분이 성립하는가?
• RQ4 분석적 랭크가 1이라는 가정 하에 $f_A$에 관련된 두 개의 $p$-진 $L$-함수로부터 $A(\mathbb{Q})$ 내의 무한 순서 점을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 임계 기울기에서 $p$-진 $L$-함수의 도함수와 Nekovář의 $p$-진 높이 쌍형식 사이의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 $p$-비퇴화 조건 하에서 $p$-일반 신형식 $f$의 임계 기울기 $p$-정규화 $f^\beta$에 대해 $p$-진 Gross–Zagier 공식을 증명한다.
• 분석적 랭크가 1인 타원곡선 $A$에 대해, 적어도 하나의 $\lambda \in \{\alpha,\beta\}$에 대해 $p$-진 높이 쌍형식 $h_{\lambda,\mathbb{Q}}^{\rm Nek}$가 비퇴화되며, 이는 Birch와 Swinnerton-Dyer 공식의 핵심 조건을 검증한다.
• Perrin-Riou의 추측이 검증된다: $p$-진 높이 쌍형식은 비퇴화이며, $p$-진 $L$-함수의 도함수는 베일린스키-카토 클래스의 $p$-진 높이와 같다.
• 논문은 분석적 랭크가 1이라는 가정 하에 $f_A$에 관련된 두 개의 $p$-진 $L$-함수를 사용하여 $A(\mathbb{Q})$ 내의 무한 순서 점을 구성한다.
• 공식 $L_{p,\lambda}'(f,1) = (1 - \frac{1}{\lambda})^2 c(f) h_{\lambda,\mathbb{Q}}^{\rm Nek}(P_f, P_f)$ 가 수립되어, $p$-진 $L$-함수의 도함수와 Nekovář 높이 쌍형식을 연결한다.
• 유리수 계수 $d(f)$ 는 $d(f) = d^2 c(f)$ 를 만족하며, Nekovář 높이와 베일린스키-카토 클래스의 로그 사이의 비율은 $-(1 - 1/\alpha)(1 - 1/\beta)$ 에 비례함을 보였다.