[논문 리뷰] p-adic L-functions for non-critical adjoint L-values

Pak Hin Lee|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 17인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 허미티안 이차 수체 위의 히다 가족에 대해 비임계 특수값 L(1, ad(f) ⊗ α)을 보간하는 p-진 L-함수를 구성한다. 이는 Λ-adi적 모듈라 기호와 p-진 코homology를 사용하여 이루어지며, 주요 기여는 가중치가 변할 때 히다의 적분 표현을 체계적으로 보간하기 위해, 코homology 클래스에 적용된 Λ-adi적 평가 맵을 사용하는 것이다.

ABSTRACT

Let K be an imaginary quadratic field, with associated quadratic character α. We construct an analytic p-adic L-function interpolating the special values L(1, ad(f) ⊗ α) as f varies in a Hida family; these values are non-critical in the sense of Deligne. Our approach is based on Greenberg--Stevens' idea of Λ-adic modular symbols. By considering cohomology with values in a space of p-adic measures, we construct a Λ-adic evaluation map that interpolates Hida's integral expression as the weight varies. The p-adic L-function is obtained by applying this map to a cohomology class corresponding to the given Hida family.

연구 동기 및 목표

• 히다 가족에서의 비임계 특수값의 p-진 L-함수 이론을 확장하기 위해.
• 허미티안 이차 수체의 맥락에서 비임계 값에 대한 보간 방법의 부족을 해결하기 위해.
• 그린버그–스티븐스의 Λ-adi적 모듈라 기호 접근법을 p-진 측도를 값으로 가지는 코homology로 일반화하기 위해.
• 가중치가 히다 가족에서 변할 때 L(1, ad(f) ⊗ α)를 보간하는 p-진 L-함수를 구성하기 위해.
• 가중치가 변할 때 이 특수값들에 대한 히다의 적분 표현을 코homological하게 실현하기 위해.

제안 방법

• p-진 L-함수를 구성하기 위해 그린버그–스티븐스의 Λ-adi적 모듈라 기호 프레임워크를 사용한다.
• 비임계 특수값의 성격을 다루기 위해 p-진 측도의 공간을 계수로 가지는 코homology를 적용한다.
• 가중치가 히다 가족에서 변할 때 히다의 적분 표현을 보간하는 Λ-adi적 평가 맵을 정의한다.
• 주어진 히다 가족과 관련된 코homology 클래스에 평가 맵을 적용하여 p-진 L-함수를 도출한다.
• 가중치 간의 보간을 보장하기 위해 허미티안 이차 수체 위의 히다 가족의 구조에 의존한다.
• 평가 맵을 통해 코homology 클래스의 특성 원소로 p-진 L-함수를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 허미티안 이차 수체 위의 히다 가족에 대해 비임계 특수값 L(1, ad(f) ⊗ α)를 보간하는 p-진 L-함수를 구성할 수 있는가?
• RQ2 히다 가족의 가중치가 변할 때 히다의 적분 표현을 보간할 수 있는 코homological 프레임워크는 무엇인가?
• RQ3 비임계 L-값을 다루기 위해 Λ-adi적 모듈라 기호를 p-진 측도를 값으로 가지는 코homology로 확장할 수 있는가?
• RQ4 가중치가 변할 때 평가 맵은 어떻게 히다의 적분 표현을 보간하는가?
• RQ5 코homology 클래스는 평가 맵을 통해 p-진 L-함수를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 논문은 히다 가족 전체에 걸쳐 비임계 특수값 L(1, ad(f) ⊗ α)를 보간하는 p-진 L-함수를 성공적으로 구성한다.
• 보간은 p-진 측도를 값으로 가지는 코homology에 정의된 Λ-adi적 평가 맵을 통해 달성된다.
• 비임계 L-값을 다루기 위해 p-진 측도를 통합함으로써 그린버그–스티븐스의 접근법을 일반화한다.
• 평가 맵을 통해 히다의 적분 표현이 가중치가 변할 때의 가족으로 실현된다.
• p-진 L-함수는 Λ-adi적 평가 맵에 의해 코homology 클래스의 이미지로 얻어진다.
• 이 프레임워크는 비임계 양자 L-값에 대한 보간 과정을 코homological하게 해석한다.