[논문 리뷰] P-adic metric preserving functions and their analogues

Robert W. Vallin, Oleksiy Dovgoshey|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 22.

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한 줄 요약

이 논문은 $ \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $인 함수 $ f $ 가 $ \mathbb{Q}_p $ 상에서 $ p $-진 초거품거리 $ d_p $ 를 유지하는지 조사한다. $ f \circ d_p $ 가 초거품거리임을 보여주기 위해 $ f $ 가 $ g $ 를 통해 인수분해되어야 하며, 이때 $ g \circ d $ 는 모든 초거품거리 $ d $ 에 대해 초거품거리가 되어야 한다. 주요 기여는 $ d_p $ 의 범위의 순서론적 성질을 이용한 $ p $-진 거리유지 함수의 특성화로, 기존의 초거품거리 유지 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

The $p$-adic completion $\mathbb{Q}_p$ of the rational numbers induces a different absolute value $|\cdot|_p$ than the typical $| \cdot |$ we have on the real numbers. In this paper we compare and contrast functions $f \colon \mathbb{R}^{+} o \mathbb{R}^{+}$, for which the composition with the $p$-adic metric $d_p$ generated by $|\cdot|_p$ is still a metric on $\mathbb{Q}_p$, with the usual metric preserving functions and the functions that preserve the Euclidean metric on $\mathbb{R}$. In particular, it is shown that $f \circ d_p$ is still an ultrametric on $\mathbb{Q}_p$ if and only if there is a function $g$ such that $f \circ d_p = g \circ d_p$ and $g \circ d$ is still an ultrametric for every ultrametric $d$. Some general variants of the last statement are also proved.

연구 동기 및 목표

• 함수 $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ 가 $ f \circ d_p $ 가 $ \mathbb{Q}_p $ 상에서 초거품거리로 남는 조건을 특성화하는 것, 여기서 $ d_p $ 는 $ p $-진 거리이다.
• 클래식한 거리 및 초거품거리 유지 함수와의 비교 및 대조를 통해 $ p $-진 거리유지 함수를 분석하는 것.
• 포지셋 이론을 활용하여 초거품거리 공간의 더 넓은 범주로 초거품거리 유지 함수의 기존 특성화를 일반화하는 것.
• 모든 $ (X,d) \in U $ 에 대해 $ f \circ d_p $ 가 초거품거리가 되는 데 필요한 필수 및 충분 조건을 도출하여, $ f $ 의 구조와 $ d_p $ 의 범위의 순서 유형 간의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• $ \text{ord}_p(x) $ 를 $ p $-진 순서로 정의하고, 이에 따라 $ |\cdot|_p $ 를 정의하여 $ \mathbb{Q}_p $ 상에서 초거품거리 $ d_p(x,y) = |x - y|_p $ 를 유도한다.
• 강한 삼각 부등식 $ d_p(x,y) \leq \max\{d_p(x,z), d_p(z,y)\} $ 을 사용하여 초거품거리 공간을 특성화하고, 비아르키메데스 노름의 역할을 규명한다.
• $ d_p $ 의 범위에서의 유연한 및 동치 사상의 개념을 도입하여 함수의 행동과 거리 공간의 순서론적 성질 간의 연결 고리를 설정한다.
• 포지셋 이론을 적용하여 초거품거리의 집합 $ U $ 의 범위 $ \text{Ran}_{U} $ 의 구조를 분석하고, 이에 대한 부분순서 $ \preccurlyeq_U $ 를 정의한다.
• $ f \circ d $ 가 모든 $ (X,d) \in U $ 에 대해 초거품거리임은 $ f $ 가 $ \preccurlyeq_U $ 에 대해 동치이자 유연해야 한다는 것과 동치임을 증명하며, 기존 결과를 일반화한다.
• $ \text{Ran}_U $ 의 부분집합에서 $ \mathbb{R}^+ $ 로의 동치 확장을 이용하여 초거품거리 유지 성질을 보존하는 함수 $ f $ 를 구성하며, 이는 $ \text{Ran}_U $ 의 구조에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 함수 $ f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+ $ 가 $ p $-진 초거품거리 $ d_p $ 를 유지하는 조건은 무엇인가? 즉, $ f \circ d_p $ 가 $ \mathbb{Q}_p $ 상에서 여전히 초거품거리가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ2 $ p $-진 거리유지 함수와 $ \mathbb{R} $ 상의 고전적 초거품거리 유지 함수 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $ d_p $ 의 범위에 어떤 조건이 성립할 경우 함수 $ f $ 가 모든 초거품거리 공간에서 초거품거리 유지 성질을 확장할 수 있는가?
• RQ4 포지셋 이론과 동치 사상 이론을 사용하여 어떤 초거품거리의 집합을 유지하는 함수를 특성화할 수 있는가?
• RQ5 $ f \circ d_p $ 가 초거품거리로 남는 데 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가? 특히 $ d_p $ 의 범위가 전순서가 아니거나 상한이 범위에 포함되지 않을 경우의 구조적 제약 조건은 무엇인가?

주요 결과

• $ f \circ d_p $ 가 $ \mathbb{Q}_p $ 상에서 초거품거리임은 $ f \circ d_p = g \circ d_p $ 를 만족하는 함수 $ g $ 가 존재하고, 이때 $ g \circ d $ 가 모든 초거품거리 $ d $ 에 대해 초거품거리임과 동치이다. 이는 $ p $-진 거리유지와 일반 초거품거리 유지 간 깊은 연관성을 규명한다.
• $ d_p $ 의 범위인 $ \text{Ran}_{d_p} $ 는 $ \{0\} \cup \{p^n : n \in \mathbb{Z}\} $ 의 부분집합이며, 이 집합이 부분순서 $ \preccurlyeq_{d_p} $ 에서 가지는 구조가 $ p $-진 거리유지 함수의 집합을 결정한다.
• 만약 포지셋 $ (\text{Ran}_{U}, \preccurlyeq_U) $ 가 전순서가 아니라면, $ f $ 가 $ U $ 의 모든 초거품거리를 유지할 수 있는 것은 강한 동치성 및 유연성 조건을 만족할 경우에만 가능하다.
• $ T_U^0 = \sup \text{Ran}_U^0 $ 이 존재하지만 $ T_U^0 \notin \text{Ran}_U $ 이면, $ f $ 는 $ \text{Ran}_U $ 상에서 유계가 될 수 없으며, 이는 $ f $ 가 실수값을 가지며 동치일 경우 모순을 일으킨다.
• $ f $ 가 $ \text{Ran}_{d_p} $ 상에서 유연하고 동치이면 $ f \circ d_p $ 는 초거품거리이며, 이러한 함수는 동치 확장을 통해 $ \mathbb{R}^+ $ 로 확장될 수 있다.
• 유한 초거품거리 공간 중 $ \mathbb{R}^2 $ 에 임bed 가능할 경우, 정리 5.8 의 조건이 성립하며, $ f $-유지 함수의 특성화는 거리 범위의 순서론적 구조로 단순화된다.