[논문 리뷰] P-functor versions of the Nakajima operators

Andreas Krug|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 05.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 매끄럽고 준사영적인 표면의 점들에 대한 하이버트 스킴의 유도 범주에 대해 $\pi^{n-1}$-함수 $H_{\ell,n}$를 구성한다. 이는 유도 매크레이 코어스폰던스를 통해 나카지마의 코homological 연산자를 카테고리적 자가동형사상으로 올리는 데 사용된다. 주요 기여는 K3 표면과 커머 4차원의 하이버트 스퀘어의 유도 범주에서 이러한 자가동형사상 간의 보편 브레인 관계를 규명하는 것이다.

ABSTRACT

For every smooth quasi-projective surface X we construct a series of P^{n-1}-functors H_{l,n}: D(X x X^[l]) --> D(X^[n+l]) between the derived categories of the Hilbert schemes of points for n>max{l,1} using the derived McKay correspondence. They can be considered as analogues of the Nakajima operators. The functors also restrict to P^{n-1}-functors on the generalised Kummer varieties. We also study the induced autoequivalences and obtain, for example, a universal braid relation in the groups of derived autoequivalences of Hilbert squares of K3 surfaces and Kummer fourfolds.

연구 동기 및 목표

• 표면의 점들에 대한 하이버트 스킴의 유도 범주에서 나카지마의 코homological 연산자를 카테고리적 $\pi^{n-1}$-함수로 확장하는 것.
• 유도 매크레이 코어스폰던스를 통한 나카지마 연산자의 카테고리적 리프트를 수립하는 것.
• 유도된 자가동형사상과 그들의 브레인 군 관계를 K3 표면과 커머 4차원의 하이버트 스퀘어의 유도 범주에서 연구하는 것.
• 암시적 또는 반암시적 캐논리컬 번들의 표면에 대해 이러한 함숫름이 전체 유도 자가동형사상 군을 생성할 것이라는 추측을 제기하는 것.

제안 방법

• 자명화, 부분 대각선 포함 사상, 그리고 $\mathfrak{S}_{n+\ell}$-여기서의 범주로의 확장 함수를 조합하여 $H_{\ell,n} : \operatorname{D}^b(X \times X^{[\ell]}) \to \operatorname{D}^b(X^{[n+\ell]})$를 구성한다.
• 유도 매크레이 코어스폰던스 $\Phi : \operatorname{D}^b(X^{[n]}) \xrightarrow{\sim} \operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_n}(X^n)$를 사용하여 이 함수들을 등급 기하학과 연결한다.
• 함수 $H_{\ell,n}$의 $\mathbb{P}$-코트위스트를 $\bar{S}_X^{-[0,n-1]} = \operatorname{id} \oplus \bar{S}_X^{-1} \oplus \cdots \oplus \bar{S}_X^{-(n-1)}$로 식별하며, 여기서 $\bar{S}_X = (\cdot) \otimes \omega_X^{-1}[-2]$이다.
• 함수 $T_{\ell,n}$을 $H_{\ell,n}H_{\ell,n}^R \oplus \mathsf{M}_a H_{\ell,n}H_{\ell,n}^R \mathsf{M}_a \to \operatorname{id}$의 코어의 코어로 정의하여 $\operatorname{D}^b_{\mathfrak{S}_{n+\ell}}(X^{n+\ell})$의 자가동형사상이 되도록 한다.
• 일반화된 커머 다양체에 이 구성법을 적용하여, 아벨 표면 $A$에 대해 $K_n A$에서 이 함수들이 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수로 제한되며, 브레인 군 관계를 도출한다.
• 히르츠-차우 사상과 등급 기반의 층 이론을 사용하여 $T_{\ell,n}$이 $X^m_{\nu(k)}$의 분할에 대한 스크라이퍼 층 $\bar{\mathbb{C}}(x)$ 위에서의 작용을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 나카지마의 코homological 연산자는 표면의 점들에 대한 하이버트 스킴의 유도 범주에서 카테고리적 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수로 리프트될 수 있는가?
• RQ2 이러한 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수로부터 유도된 자가동형사상의 구조는 어떻게 되며, 브레인 군 관계와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 이러한 함수들은 암시적 또는 반암시적 캐논리컬 번들의 표면에 대해 $\operatorname{D}^b(X^{[m]})$의 전체 유도 자가동형사상 군을 생성하는가?
• RQ4 $\mathbb{P}$-트위스트는 하이버트 스킴의 분할, 특히 대칭곱 위의 스크라이퍼 층 위에서 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 함수 $H_{\ell,n}$은 $n > \ell$ 이며 $n > 1$일 때 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수이며, 유도 매크레이 코어스폰던스와 확장 함수를 통해 구성된다.
• $H_{\ell,n}$의 $\mathbb{P}$-코트위스트는 $\bar{S}_X^{-[0,n-1]} = \operatorname{id} \oplus \bar{S}_X^{-1} \oplus \cdots \oplus \bar{S}_X^{-(n-1)}$이며, 여기서 $\bar{S}_X = (\cdot) \otimes \omega_X^{-1}[-2]$이다.
• 유도된 $\mathbb{P}$-트위스트 $T_{\ell,n}$은 $x \in X^{n+\ell}_{\nu(n)}$에 대해 $\bar{\mathbb{C}}(x)$ 위에서 $[-(n-2)]$의 이동으로 작용하며, $\bar{X}^{n+\ell}_{\nu(n)}$ 위에선 자명하게 작용한다. 이는 레마 5.3의 일반화이다.
• $m=2,3$일 때, 논문은 $\operatorname{Aut}^{st+H}(\operatorname{D}^b(X^{[m]}))$가 표준 자가동형사상과 $\mathbb{P}$-트위스트로 생성되며, $\omega_X$가 암시적 또는 반암시적일 경우 전체 자가동형사상 군과 일치할 것이라고 추측한다.
• 함수 $t_{m-2,2}$는 $\Phi^{-1} \mathsf{M}_a \Phi \mathsf{M}_{\mathcal{O}(D/2)}$로 정의되며, $x \in X^m_{\nu(2)}$에 대해 $\bar{\mathbb{C}}(x)$ 위에서 $[-1]$의 이동으로 작용하고, 그 외부에선 자명하다.
• 이 구성법은 일반화된 커머 다양체로 확장되며, 아벨 표면 $A$에 대해 $K_n A$에서 이 함수들이 $\mathbb{P}^{n-1}$-함수로 제한되며, 유도 자가동형사상 군에서 보편 브레인 관계를 도출한다.