[논문 리뷰] P is a proper subset of NP

Jerrald Meek|ArXiv.org|2008. 04. 07.

Advanced Graph Theory Research참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 NP-complete 문제에 대한 결정적 다항시간 해법이 무한한 수의 입력 집합을 처리해야 하므로, P는 NP의 진부분집합임을 증명함으로써 P가 NP와 같지 않음을 주장한다. 핵심 기여는 P = NP를 만족시키기 위한 유한하고 다항식적으로 유계된 탐색만이 가능하다는 P = NP 최적화 정리이며, 이러한 탐색 분할은 FEXP 복잡도 클래스에 속하므로 P = NP는 이룰 수 없다.

ABSTRACT

The purpose of this article is to examine and limit the conditions in which the P complexity class could be equivalent to the NP complexity class. Proof is provided by demonstrating that as the number of clauses in a NP-complete problem approaches infinity, the number of input sets processed per computation performed also approaches infinity when solved by a polynomial time solution. It is then possible to determine that the only deterministic optimization of a NP-complete problem that could prove P = NP would be one that examines no more than a polynomial number of input sets for a given problem. It is then shown that subdividing the set of all possible input sets into a representative polynomial search partition is a problem in the FEXP complexity class. The findings of this article are combined with the findings of other articles in this series of 4 articles. The final conclusion will be demonstrated that P =/= NP.

연구 동기 및 목표

• NP-complete 문제와 관련하여 P가 NP와 같을 수 있는 조건을 엄밀히 분석하는 것.
• NP-complete 문제에 대한 결정적 다항시간 해법이 문제 크기가 증가함에 따라 무한한 수의 입력 집합을 처리해야 함을 보여주는 것.
• P = NP 최적화의 타당한 해법은 다항식적으로 유계된 입력 집합에 국한되어야 하며, 이러한 집합이 FEXP 복잡도 클래스에 속함을 입증하는 것.
• 다양한 정리들을 통해 P = NP의 이론적 조건을 좁혀내고, 최종적으로 P ≠ NP임을 증명하는 것.
• 네 편의 관련 논문의 결과를 통합하여 P = NP가 이룰 수 없음을 확실히 주장하는 것.

제안 방법

• 클라우즈 수가 무한히 증가할 때 NP-complete 문제에 대한 다항시간 계산률의 극한 행동을 분석한다.
• P = NP 최적화 정리(정리 4.4)를 도입하여, 다항시간에 처리할 수 있는 입력 집합의 수가 오직 유한하고 다항식적으로 유계된 수일 뿐임을 증명한다.
• 모든 가능한 입력 집합의 전체 공간을 대표하는 다항식 탐색 분할로 나누는 것은 FEXP 복잡도 클래스에 속하는 문제임을 보여준다.
• 비결정적 튜링 기계 모델을 사용하여 NP-완전성의 본질과 결정적 시뮬레이션의 한계를 명확히 한다.
• Horowitz와 Sahni(1974)의 결과를 적용하여 NP-complete 최적화 정리를 검증한다.
• 특히 Stephen Cook의 피드백을 바탕으로 반복적인 수정과 동료 검토를 통해 논리적 구조를 다듬고 이전 오류를 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 특히 NP-complete 문제에 대해 P가 NP와 같을 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 NP-complete 문제에 대한 결정적 다항시간 해법에서 입력 집합 처리 비율의 점근적 행동은 어떠한가?
• RQ3 결정적 다항시간 알고리즘이 NP-complete 문제를 해결하면서 다항식 수의 입력 집합만 처리할 수 있는가?
• RQ4 모든 가능한 입력 집합을 대표하는 다항식 탐색 부분집합으로 나누는 문제의 결정 가능성이 다항시간 내에서 가능할 수 있는가?
• RQ5 이러한 분할이 FEXP 복잡도 클래스에 속한다는 것은 P ≠ NP를 의미하는가?

주요 결과

• NP-complete 문제의 클라우즈 수가 무한히 증가함에 따라, 어떤 결정적 다항시간 해법에서도 처리하는 입력 집합의 수 역시 무한히 증가한다.
• 결정적 다항시간 알고리즘이 NP-complete 문제를 해결할 수 있는 유일한 방법은 입력 집합의 수를 다항식 수준으로 제한하는 것이다.
• 모든 가능한 입력 집합의 집합을 대표하는 다항식 탐색 분할로 나누는 것은 FEXP 복잡도 클래스에 속하는 문제이다.
• 전문가 검토와 수정된 논리에 기반하여 P = NP 최적화 정리는 확인되었으며, P = NP를 만족시키기 위한 필수 조건을 설정하였다.
• 초기에는 전문가 검토로 NP-complete 최적화 정리가 반증되었고, 새로운 P = NP 분할 시간 정리로 대체되었다.
• 이 논문과 세 편의 후속 논문의 누적적 결과는 P ≠ NP임을 도출하며, P는 NP의 진부분집합임을 시사한다.