[논문 리뷰] $ (p, N)-$Choquard logarithmic equation involving a nonlinearity with exponential critical growth: existence and multiplicity

Eduardo de Souza Böer, Olı́mpio H. Miyagaki|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 24.

Nonlinear Partial Differential Equations인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $ ^N$에서 지수 임계 성장과 함께 $(p,N)$-Choquard 로그 방정식에 대한 비자명한 해의 존재성과 다중성을 증명한다. 변분 방법과 새로운 기술적 보조정리(보조정리 3.9)를 통해 Cerami 수열의 유계성을 확보함으로써, 산맥 길이 해, 기저 상태 해, 대칭 산맥 길이 정리에 의한 무한히 많은 해의 존재를 입증한다. 비선형성과 콘볼루션 항의 적절한 성장 및 강성 조건 하에서 성립한다.

ABSTRACT

The present work is concerned with the following version of Choquard Logarithmic equations $ -Δ_p u -Δ_N u + a|u|^{p-2}u + b|u|^{N-2}u + λ(\ln|\cdot|\ast G(u))g(u) = f(u) extrm{ in } \mathbb{R}^N $ , where $ a, b, λ>0 $, $ \max\{\frac{N}{2}, 2 \} < p< N $, $f, g: \mathbb{R} ightarrow \mathbb{R} $ are continuous functions that behave like $ \exp(α|u|^{\frac{N}{N-1}}) $ at infinity, for $ α>0 $, and that has polynomial growth, respectively, and $ G(s)=\int\limits_{0}^{s}g(τ)dτ$. We prove the existence of a nontrivial solution at the mountain pass level and a nontrivial ground state solution. Also, using a version of the Symmetric Mountain-Pass Theorem, we get infinitely many solutions.

연구 동기 및 목표

• 지수 임계 성장과 함께 $(p,N)$-Choquard 로그 방정식에 대한 비자명한 해의 존재성을 확립한다.
• 변분 방법을 통해 산맥 길이 수준에서 비자명한 해의 존재성을 증명한다.
• Nehari 만곡선 위에서 에너지 함수를 최소화하여 기저 상태 해의 존재성을 확립한다.
• 대칭 산맥 길이 정리의 일종을 적용하여 무한히 많은 해의 존재성을 증명한다.
• 이동 불변성이 없는 공간에서 유계성이 보장되지 않는 Cerami 수열 문제를 해결하기 위해 새로운 기술적 보조정리를 도입한다.

제안 방법

• 적절한 소볼레프 공간 $X$ 위에서 $(p,N)$-라플라스 연산자와 로그 콘볼루션 항을 포함하는 $C^1$ 함수 $I$로 문제를 임계점 문제로 재구성한다.
• 산맥 길이 정리를 적용하여 산맥 길이 수준에서 비자명한 임계점을 확보한다.
• Nehari 만곡선 방법을 사용하여 제약 조건 하에서 에너지 함수를 최소화함으로써 기저 상태 해의 존재성을 증명한다.
• 이동 불변성이 없는 상황에서 Cerami 수열의 유계성을 보장하기 위해 새로운 기술적 보조정리(보조정리 3.9)를 도입한다.
• 짝수 함수 $I$에 대해 대칭 산맥 길이 정리를 적용하여 기하학적으로 다른 무한히 많은 해를 확보한다.
• 모스어-트루딩어 유형 부등식과 지수 비선형성의 점근적 추정을 활용하여 성장 제어 및 컴actness 확보를 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 지수 임계 성장과 함께 $(p,N)$-Choquard 로그 방정식은 산맥 길이 수준에서 비자명한 해를 갖는가?
• RQ2 Nehari 만곡선 위에서 최소화를 통해 이 방정식의 기저 상태 해를 찾을 수 있는가?
• RQ3 특히 이동 불변성이 없는 공간에서 함수가 Cerami 조건을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 완전한 컴팩트성의 부재에도 불구하고 대칭 산맥 길이 정리를 적용하여 무한히 많은 해를 생성할 수 있는가?
• RQ5 로그 콘볼루션 항의 존재는 표준 Choquard 방정식과 비교해 해의 존재성과 다중성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 방정식과 관련된 함수 $I$는 산맥 길이 수준에서 Cerami 조건을 만족하여 비자명한 임계점의 존재를 보장한다.
• 기저 상태 해는 Nehari 만곡선 위에서 에너지 함수를 최소화하는 해로서, 가장 낮은 에너지를 가진 비자명한 해에 해당한다.
• 대칭 산맥 길이 정리의 적용으로 기하학적으로 다른 무한히 많은 해가 존재하며, 이는 새로운 유계성 보조정리(보조정리 3.9)에 의존한다.
• 이동 불변성이 없는 노름에서, 새로운 기술적 추론을 통해 Cerami 수열의 부분수열에 대한 유계성이 확립된다.
• 비선형성과 그 원함수의 성장을 제어하는 조건 $(f_1')$--$(f_4)$ 및 $(g_1)$--$(g_5)$ 하에서 해의 존재가 보장된다.
• 이전의 지수 성장이 있는 Choquard 방정식 연구를 일반 설정에서 $(p,N)$-라플라스 연산자와 로그 콘볼루션 항을 포함함으로써 확장한다.