[논문 리뷰] $p$-Operator Spaces and Figá-Talamanca-Herz Algebras

Matthew Daws|arXiv (Cornell University)|2006. 11. 27.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 33인용 수 34

한 줄 요약

이 논문은 $L_p$-기반 구조와 $p$-완전히 유계된 사상들을 사용하여 $p$-연산자 공간에 대한 새로운 프레임워크를 제안하며, Figà-Talamanca-Herz 대수 $A_p(G)$가 이 설정에서 수축 가능한 양자화된 바나흐 대수로 되는 것을 보여준다. 핵심 결과는 $A_p(G)$가 $p$-연산자 공간 대수로서 애매하다면 국소 콤���한 군 $G$가 애매할 때이고, 이는 Ruan의 연산자 공간 접근법을 $A(G)$로 일반화한다.

ABSTRACT

We study a generalisation of operator spaces modelled on $L_p$ spaces, instead of Hilbert spaces, using the notion of $p$-complete boundedness, as studied by Pisier and Le Merdy. We show that the Figá-Talamanca-Herz Algebras $A_p(G)$ becomes quantised Banach algebras in this framework, and that the cohomological notion of amenability of these algebras corresponds to amenability of the locally compact group $G$. We thus argue that we have presented a generalised of the use of operator spaces in studying the Fourier algebra $A(G)$, in the spirit of Ruan. Finally, we show that various notions of multipliers of $A_p(G)$ (including Herz's generalisation of the Fourier-Stieltjes algebra) naturally fit into this framework.

연구 동기 및 목표

• Ruan의 연산자 공간 접근법을 $A(G)$에 대해 일반화하여 $L_p$-기반 Figà-Talamanca-Herz 대수 $A_p(G)$에 적용하는 것.
• Pisier와 Le Merdy의 작업에 영감을 받아 $p$-완전히 유계성에 기반한 자연스러운 $p$-연산자 공간 구조를 $A_p(G)$에 정의하는 것.
• $A_p(G)$의 $p$-연산자 공간 대수로서의 애매함이 기저 군 $G$의 애매함과 정확히 일치함을 확립하는 것.
• $A_p(G)$의 다양한 승수 대수, 특히 푸리에-슈틸티제스 대수의 Herz 일반화를 포함하여, 이 $p$-연산자 공간 프레임워크에 자연스럽게 통합되는 것.

제안 방법

• Pisier와 Le Merdy의 $p$-완전히 유계성의 개념을 채택하여 $p$-연산자 공간을 정의하고, $L_2$에서 $L_p$로 연산자 공간을 일반화하는 것.
• $A_p(G)$에 $L_p$-기반 $SQ_p$-공간 위의 표현의 계수 함수로 표현함으로써 $p$-연산자 공간 구조를 부여하는 것.
• $p$-연산자 공간의 프로젝티브 텐서곱을 사용하여 $A_p(G) \hat{\otimes} A_p(H)$를 정의하고, 이 것이 $A_p(G \times H)$와 등장적으로 이sovolumetric임을 보이는 것.
• $A_p(G)$의 $p$-완전히 유계진 승수를 특성화하고, 이를 Herz의 $B_p(G)$와 연결하는 것, 특히 애매한 경우에 대해.
• $p$-연산자 공간 설정에서 $A_p(G)$의 애매함을 정의하고 분석하기 위해 코homological 기법을 적용하는 것.
• Runde의 $B_p(G)$를 $A_p(G)$의 승수 대수로 정의하고, $G$가 애매할 경우 $\mathcal{M}_{cb}(A_p(G)) = B_p(G)$가 등장적으로 일치함을 보이는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 A_p(G)가 $p$-연산자 공간 대수로서의 애매함이 군 G의 애매함과 정확히 일치하는가?
• RQ2 $p$-연산자 공간 설정에서 승수 대수 $\mathcal{M}_{cb}(A_p(G))$가 자연스럽게 Herz의 $B_p(G)$로 식별될 수 있는가?
• RQ3 $A_p(G)$에 대한 $p$-연산자 공간 구조는 이전의 $A_p(G)$에 대한 연산자 공간 구조와 비교해 볼 때 수축성과 자연스러움 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ4 $p$-연산자 공간 프레임워크가 $A(G)$의 쌍대성과 텐서곱 성질을 $A_p(G)$로 얼마나 넓게 확장하는가?
• RQ5 $A_p(G)$에 대한 $p$-연산자 공간 구조는 특정 표현에 의존하는가, 아니면 내재적이고 특정 표현에 독립적인가?

주요 결과

• $A_p(G)$에 대한 $p$-연산자 공간 구조는 이전의 접근 방식이 유계된 곱만 제공하는 것과 달리 수축 가능하다.
• $p$-연산자 공간 프레임워크 하에서 대수 $A_p(G)$는 수축 가능한 양자화된 바나흐 대수가 된다.
• $A_p(G)$가 $p$-연산자 공간 대수로서의 애매함은 군 $G$가 애매할 때에만 성립한다.
• 애매한 $G$에 대해, $p$-완전히 유계진 승수 대수 $\mathcal{M}_{cb}(A_p(G))$는 등장적으로 $B_p(G)$와 일치한다. 이는 푸리에-슈틸티제스 대수의 Herz 일반화이다.
• $A_p(G) \hat{\otimes} A_p(H)$는 등장적으로 $A_p(G \times H)$와 이sovolumetric이다. 이는 $A(G)$ 설정에서의 핵심 성질을 $A_p(G)$ 설정으로 확장한 것이다.
• 이 프레임워크는 자연스럽게 Herz의 승수 이론을 통합하며, $A_p(G)$와 그 승수 대수 사이의 더 깊은 구조적 호환성을 시사한다.