[논문 리뷰] P-Tensors, P$_0$-Tensors, and Tensor Complementarity Problem

Weiyang Ding, Ziyan Luo외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 24.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 26인용 수 18

한 줄 요약

이 논문은 짝수차수 및 홀수차수 텐서에 대해 동차 정의를 사용하여 P-텐서와 P₀-텐서를 제안하며, 고차 텐서로의 고전적 P-행렬 개념을 확장한다. P-텐서를 갖는 텐서 보완문제(TCP)는 비어 있지 않고 컴act한 해집합을 가짐을 증명하여 TCP 이론의 기초 결과를 확립하고, 양의 정부호, M-텐서, 대각지배성이 있는 양의 대각성분을 갖는 텐서와 같은 주요 텐서 클래스들을 통합한다.

ABSTRACT

The concepts of P- and P$_0$-matrices are generalized to P- and P$_0$-tensors of even and odd orders via homogeneous formulae. Analog to the matrix case, our P-tensor definition encompasses many important classes of tensors such as the positive definite tensors, the nonsingular M-tensors, the nonsingular H-tensors with positive diagonal entries, the strictly diagonally dominant tensors with positive diagonal entries, etc. As even-order symmetric PSD tensors are exactly even-order symmetric P$_0$-tensors, our definition of P$_0$-tensors, to some extent, can be regarded as an extension of PSD tensors for the odd-order case. Along with the basic properties of P- and P$_0$-tensors, the relationship among P$_0$-tensors and other extensions of PSD tensors are then discussed for comparison. Many structured tensors are also shown to be P- and P$_0$-tensors. As a theoretical application, the P-tensor complementarity problem is discussed and shown to possess a nonempty and compact solution set.

연구 동기 및 목표

• 짝수차수 및 홀수차수 텐서에 모두 적용 가능한 동차 공식을 사용하여 P-행렬 개념을 고차 텐서로 일반화한다.
• P-텐서와 P₀-텐서를 정의함으로써 P-행렬의 핵심 성질을 유지하고, 양의 준정부호(PSD) 텐서를 홀수차수의 경우로 확장한다.
• P-텐서를 갖는 텐서 보완문제(TCP)는 비어 있지 않고 컴act한 해집합을 갖는다. 이는 이론적 해법 가능성을 보장한다.
• P₀-텐서와 양의 준정부호(PSD) 텐서의 다른 확장, 예를 들어 비음성, 완전 양성, 이중 음성 부호가 없는 텐서와의 관계를 규명한다.
• 양의 정부호, M-텐서, 양의 대각성분을 갖는 대각지배성이 있는 텐서와 같은 중요한 구조적 텐서들이 P-텐서의 특수한 경우임을 보여준다.

제안 방법

• 모든 비영인 x ∈ ℝⁿ에 대해 어떤 인덱스 i가 존재하여 xi(𝒜x^{m−1})_i > 0 를 만족하는 조건을 통해 P-텐서의 동차 정의를 제안한다.
• 약한 부등식을 사용하여 P₀-텐서를 유사하게 정의한다: 모든 i에 대해 xi(𝒜x^{m−1})_i ≥ 0 이고, 적어도 하나의 i에 대해 강한 부등식이 성립한다.
• x ↦ 𝒜x^{m−1}의 동차성을 이용하여 P-텐서 조건 하에서 텐서 보완문제(TCP)의 해집합을 분석한다.
• 고정점 보조정리(Lemma 6.1)를 적용하여, 𝒜가 P-텐서일 경우 TCP(𝒜, q)의 해집합이 비어 있지 않고 컴act하다는 것을 보여준다.
• 모든 P-텐서가 𝒜x^{m−1} > 0 를 만족하는 x > 0 가 존재함을 보여, P-텐서가 S-텐서의 진부분집합임을 증명한다.
• 텐서 콘과 다른 특수 텐서 클래스, 즉 PSD, 비음성, 완전 양성 텐서와의 관계를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 P-행렬 개념은 짝수차수 및 홀수차수 텐서에 모두 적용 가능한 방식으로 고차 텐서로 확장될 수 있는가?
• RQ2 P-텐서를 갖는 텐서 보완문제(TCP)는 항상 비어 있지 않고 컴act한 해집합을 갖는가?
• RQ3 P₀-텐서는 특히 홀수차수의 경우에서 다른 양의 준정부호(PSD) 텐서의 확장과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 양의 정부호, M-텐서, 양의 대각성분을 갖는 대각지배성이 있는 텐서와 같은 잘 알려진 구조적 텐서들은 P-텐서의 특수한 경우인가?
• RQ5 P-텐서를 사용하여 고차 도함수를 통한 다변수 함수의 국소 최적성 조건을 특성화할 수 있는가?

주요 결과

• P-텐서를 갖는 텐서 보완문제(TCP)는 모든 q에 대해 비어 있지 않고 컴act한 해집합을 갖는다. 이는 이론적 해법 가능성을 보장한다.
• 모든 P-텐서는 S-텐서의 진부분집합이며, 모든 P-텐서는 𝒜x^{m−1} > 0 를 만족하는 엄밀히 양의 해벡터 x > 0 를 갖는다.
• 짝수차수 대칭 양의 준정부호(PSD) 텐서는 정확히 짝수차수 대칭 P₀-텐서이며, 이는 P₀-텐서를 통해 PSD 클래스를 홀수차수로 확장한다.
• 양의 정부호 텐서, 비특이 M-텐서, 양의 대각성분을 갖는 비특이 H-텐서, 양의 대각성분을 갖는 대각지배성이 있는 텐서와 같은 많은 중요한 구조적 텐서들은 P-텐서의 특수한 경우이다.
• C³ 함수의 세 번째 도함수 텐서는 그 기울기와 헤시안이 한 점에서 0이면 P-텐서가 된다. 이는 작은 α > 0 과 d > 0 에 대해 f(x + αd) > f(x) > f(x − αd) 를 의미한다.
• P₀-텐서는 홀수차수 텐서로의 양의 준정부호(PSD) 텐서 개념을 일반화하여, 홀수차수 대칭 텐서에 자연스러운 확장 제공한다.